## sábado, 29 de maio de 2021

### Geometria - Pac Man

Qual fração do quarto de círculo está pintada de verde?

(What fraction of the quarter circle is painted green?)

PCFilho

#### 2 comentários:

1. To make the explanation a bit easier, I’m going to label the points as follows:

O = left-hand vertex of the quarter-circle
A = right-hand vertex of the quarter-circle
B = top vertex of the quarter-circle
C = point where the green “Pac-Man” meets segment OA
D = point where the green “Pac-Man” meets segment OB
E = top vertex of the green “Pac-Man”
F = right-hand vertex of the green “Pac-Man”
P = center of the green “Pac-Man”

Given: Segment EP ∥ segment OB
Given: Segment FP ∥ segment OA
Given: The green “Pac-Man” is tangent to OA at C and to OB at D.
Question: What fraction of the quarter-circle is represented by the area of the green “Pac-Man”?

We start by extending EP to C and drawing segment OE. This creates the right triangle △OCE. Segment OC is equal in length to the radius of the Pac-Man (let’s call this length r). Segment CE is the diameter of the Pac-Man, so its length must be 2r. Segment OE is the hypotenuse of △OCE and its length is equal to the radius of the quarter-circle. Thus, by the Pythagorean Theorem:

Radius of quarter-circle = OE = √[(OC)² + (CE)²] = √[r² + (2r)²] = √(5r²) = (√5)r

Thus the area of the quarter-circle is (π/4)[(√5)r]² = 5πr²/4.

The Pac-Man’s area is three-quarters of the area of the circle with radius r, or (3π/4)r² = 3πr²/4.

Therefore, the fraction of the quarter-circle’s area represented by the Pac-Man is (3πr²/4) / (5πr²/4) = 3/5.

1. Well done, mr. Hoover. Elegant solution.

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