Probabilidades

A área mais fascinante da matemática para mim é a das probabilidades. Nela, é preciso muito raciocínio, em detrimento de “fórmulas mágicas”. Como veremos aqui, nem sempre nossa intuição está certa em problemas probabilísticos...

Começo com um problema simples e intrigante. Você tem uma amiga com dois filhos, e sabe que uma das crianças é menina. Qual é a probabilidade de a outra criança ser menina? A intuição nos diz: 1/2, obviamente! Mas nossa intuição está errada! A resposta certa é 1/3! Um casal com dois filhos tem quatro possíveis combinações: menino-menino, menino-menina, menina-menino e menina-menina – todas essas combinações igualmente prováveis. Se você sabe que uma das crianças é menina, a primeira combinação é eliminada. Assim, restam apenas três combinações: menino-menina, menina-menino e menina-menina. Apenas na última a outra criança é menina! Logo, a probabilidade é de 1/3. Estranho, não? Imagine agora que você viu sua amiga com uma menina, que ela confirmou ser sua filha. Pense bem, e você perceberá que, nesse caso, a probabilidade é 1/2!

Outro probleminha: Alberto, Bernardo e Carlos estão presos. O carcereiro sabe qual deles está condenado à morte, e quais os dois que serão libertados. Alberto, que tem uma chance de 1/3 de ir para a forca, escreve uma carta para a mãe, e quer que ela seja entregue por Bernardo ou Carlos. Então, ele pergunta ao carcereiro se deve entregar a carta a Bernardo ou Carlos. O carcereiro se vê em um dilema: ele acha que, se revelar a Alberto o nome do homem que será libertado, então Alberto terá uma chance de 1/2 de ser condenado à morte, já que Alberto ou o homem não-indicado será executado. Se ele ocultar a informação, as chances de Alberto seguem em 1/3. Alberto já sabe que pelo menos um dos seus colegas será libertado. Como suas chances de ser executado podem ser afetadas pelo simples fato de ele saber o nome do homem que ganhará a liberdade? A resposta: as chances de Alberto não mudam! A preocupação do carcereiro é equivocada. Mesmo sabendo o nome do companheiro a ser libertado, a chance de Alberto continua sendo de 1/3. O companheiro não-indicado agora tem uma probabilidade de 2/3 de morrer! Isso contradiz nossa intuição!

Há quatro cenários nesse caso:

1. Alberto é o condenado, e o carcereiro diz que Bernardo está livre. Probabilidade: 1/6.

2. Alberto é o condenado, e o carcereiro diz que Carlos está livre. Probabilidade: 1/6.

3. Bernardo é o condenado, e o carcereiro diz que Carlos está livre. Probabilidade: 1/3.

4. Carlos é o condenado, e o carcereiro diz que Bernardo está livre. Probabilidade: 1/3.

Se o carcereiro disser que Bernardo está livre (cenário 1 ou 4), Carlos tem uma chance 2 vezes maior de ser o condenado que Alberto (2/3 contra 1/3). Se o carcereiro disser que Carlos está livre (cenário 2 ou 3), Bernardo tem uma chance 2 vezes maior de morrer que Alberto (2/3 contra 1/3). Esse é o clássico problema da escolha restrita: nos cenários em que Alberto não é condenado, o carcereiro não tem escolha. Isso é assunto para um outro texto, talvez até um livro.

Encerro por aqui, para evitar que meus caros leitores fiquem com um nó no cérebro. Espero não ter escrito nenhuma besteira. A matemática é a ciência exata, e por isso é muito perigoso escrever sobre ela. Arrivederci!