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quarta-feira, 17 de dezembro de 2014

Matemática - Uma questão de geometria plana


Este quadrado de área unitária é dividido em quatro regiões, por uma diagonal e uma linha que conecta um vértice ao ponto médio de um lado oposto. Quais são as áreas das quatro regiões?

(do livro After Math (1995), do matemático Ed Barbeau, da University of Toronto)

PCFilho
às

2 comentários:

  1. jrh15048219 de dezembro de 2014 às 04:01

    I'm going to start with some definitions:
    O=lower left vertex of square
    A=lower right vertex of square
    B=upper right vertex of square
    C=upper left vertex of square
    M=midpoint of segment AB
    N=point of intersection of segments OB and CM

    Superimposing this square over a coordinate plane so that O is the origin, we therefore give the following coordinates for A, B, C, and M:
    A=(1,0) (since we're dealing with a unit square)
    B=(1,1)
    C=(0,1)
    M=(1,1/2)

    Segment OB lies on the line y=x, and segment CM lies on the line y=-(1/2)x+1.
    Therefore x=-(1/2)x+1. Solving this equation for x, we get x=1/(3/2)=2/3. Plugging this value back into either of the equations, we get y=2/3. Therefore:
    N=(2/3,2/3)

    To summarize:
    A=(1,0)
    B=(1,1)
    C=(0,1)
    M=(1,1/2)
    N=(2/3,2/3)

    Now, we need some vectors now:
    Vector NM=[1/3,-1/6]
    Vector NB=[1/3,1/3]
    Vector NC=[-2/3,1/3]
    Vector NO=[-2/3,-2/3]

    So:
    Area of a=((1/3)(1/3)-(1/3)(-1/6))/2=(1/9+1/18)/2=(3/18)/2=3/36=1/12
    Area of b=((1/3)(1/3)-(1/3)(-2/3))/2=(1/9+2/9)/2=(3/9)/2=3/18=1/6
    Area of c=((-2/3)(-2/3)-(1/3)(-2/3))/2=(4/9+2/9)/2=(6/9)/2=3/9=1/3
    Area of d=1-1/12-1/6-1/3=(12-1-2-4)/12=5/12

    ResponderExcluir
  2. PC Filho19 de dezembro de 2014 às 11:09

    Well done, Jake! Beautiful analytic solution!!

    :-)

    ResponderExcluir

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