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domingo, 18 de janeiro de 2015

Cavalheiros e Canalhas


Um problema da Olimpíada de Matemática da Itália, de 1994:

Todo habitante da Ilha de Cavalheiros e Canalhas ou é um Cavalheiro (que sempre fala a verdade), ou é um Canalha (que sempre mente). Um jornalista visitante entrevista cada habitante da Ilha exatamente uma vez e obtém as seguintes respostas:

A(1): Nesta Ilha há pelo menos um Canalha.
A(2): Nesta Ilha há pelo menos dois Canalhas.
…
A(n-1): Nesta Ilha há pelo menos (n – 1) Canalhas.
A(n): Nesta Ilha todos são Canalhas.

Com estas respostas, o jornalista pode descobrir se há mais Cavalheiros que Canalhas na Ilha?

PCFilho
às

2 comentários:

  1. Unknown19 de janeiro de 2015 às 20:08

    O último habitante é um canalha(Se fosse cavalheiro, sua afirmação seria verdadeira, porém ele diz que todos na ilha são canalhas, levando a uma contradição), indicando que o primeiro habitante é um cavalheiro.

    O penúltimo habitante é um canalha(Se fosse cavalheiro, estaria dizendo que todos exceto ele são canalhas, porém o primeiro habitante também é cavalheiro, levando a outra contradição), também indicando que o segundo habitante é um cavalheiro.

    Repetindo esse raciocínio, concluímos que a primeira metade dos entrevistados é composta apenas por cavalheiros, e a segunda metade apenas por canalhas, então há a mesma quantidade de cavalheiros e canalhas na ilha. E sim, n é um número par.

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  2. Unknown20 de janeiro de 2015 às 08:30

    Se existem k canalhas na ilha, os primeiros k habitantes são cavalheiros pois estão dizendo a verdade e o restante (n-k) é canalha, pois estão mentindo.
    Portanto para existir k canalhas na ilha, tem que haver também n-k canalhas
    Sendo assim temos k = n-k
    Ou k = n/2.
    O jornalista pode concluir que metade da ilha é de canalhas e metade de cavalheiros
    ST.

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