Páginas

quarta-feira, 24 de fevereiro de 2016

A hora da simetria


A que horas exatamente entre 8:15 e 8:20 o ponteiro dos minutos e o ponteiro das horas de um relógio analógico ideal fazem o mesmo ângulo com a vertical?

(At what exact time between 8:15 and 8:20 do the minute hand and the hour hand of an ideal analog clock make the same angle with the vertical?)

PCFilho
(problema proposto por Holger Dambeck, no Spiegel Online)

6 comentários:

  1. Hour hand moves 360° in 24 h=1440 min=86400 s
    Rate of hour hand=360°/(86400 s)=(1/240)(°/s)

    Minute hand moves 360° in 1 h=3600 s
    Rate of minute hand=360°/(3600 s)=(1/10)(°/s)

    t=0 s corresponds to 8:15, t=300 s corresponds to 8:20
    The 6 mark is 0°
    At 8:00 hour hand is at 60° and minute hand is at -180°
    At 8:15 (900 s after 8:00) hour hand is at (60+(900/240))°=(255/4)°
    At 8:15 minute hand is at -90°

    θh(t)=position in degrees of hour hand at time t
    θm(t)=position in degrees of minute hand at time t
    θh(t)=255/4+t/240
    θm(t)=-90+t/10

    We find the value of t for which θh=-θm:
    255/4+t/240=90 – t/10
    t/240+t/10=90-255/4
    25t/240=105/4
    t=(105/4)(240/25)=(25200/100)=252 s

    The time is 252 seconds after 8:15, or 8:19 and 12 seconds.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Jake, the hour hand moves 360 degrees not in 24 hours, but in 12 hours.

      That was probably your only mistake.

      Excluir
    2. And it's a major one, because correcting it changes the answer.

      Excluir
  2. Correcting my mistake:

    Hour hand moves 360° in 12 h=720 min=43200 s
    Rate of hour hand=360°/(43200 s)=(1/120)(°/s)

    Minute hand moves 360° in 1 h=3600 s
    Rate of minute hand=360°/(3600 s)=(1/10)(°/s)

    t=0 s corresponds to 8:15, t=300 s corresponds to 8:20
    The 6 mark is 0°
    At 8:00 hour hand is at 60° and minute hand is at -180°
    At 8:15 (900 s after 8:00) hour hand is at (60+(900/120))°=(135/2)°
    At 8:15 minute hand is at -90°

    θh(t)=position in degrees of hour hand at time t
    θm(t)=position in degrees of minute hand at time t
    θh(t)=135/2+t/120
    θm(t)=-90+t/10

    We find the value of t for which θh=-θm:
    135/2+t/120=90–t/10
    t/120+t/10=90-135/2
    13t/120=45/2
    t=(45/2)(120/13)=2700/13=(207+9/13) s

    The time is 207 and 9/13 seconds after 8:15, or 8:18 and 27 and 9/13 seconds.

    ResponderExcluir
  3. Solução em português:

    O ponteiro da hora anda 1/12 da volta completa a cada hora, ou 1/43200 da volta completa a cada segundo.

    O ponteiro do minuto anda 1 volta completa a cada hora, ou 1/3600 da volta completa a cada segundo.

    (Uma hora tem 60*60 = 3600 segundos.)

    Os ponteiros farão o mesmo ângulo com a vertical quando a distância para o ponteiro da hora chegar até as 12:00 for igual à distância que o ponteiro dos minutos percorreu desde as 20:00.

    Sejam x o número de segundos transcorridos entre 20:15 e a hora da simetria, m a distância que o ponteiro dos minutos percorreu desde as 20:00, e h a distância que falta para o ponteiro das horas chegar até as 12:00.

    m = (15*60 + x) segundos * 1/3600 voltas por segundo
    m = 15/60 + x/3600 voltas

    h = ((180+45)*60 - x) segundos * 1/12 voltas por hora * 1/3600 horas por segundo
    h = 225/720 - x/43200 voltas

    Fazendo m = h:
    15/60 + x/3600 = 225/720 - x/43200
    15 + x/60 = 225/12 - x/720
    12*15 + x/5 = 225 - x/60
    x/5 + x/60 = 225 - 180
    13x = 45*60
    x = 45*60/13 = 207,6923 segundos

    ResponderExcluir

Regras para postar comentários:

I. Os comentários devem se ater ao assunto do post, preferencialmente. Pense duas vezes antes de publicar um comentário fora do contexto.

II. Os comentários devem ser relevantes, isto é, devem acrescentar informação útil ao post ou ao debate em questão.

III. Os comentários devem ser sempre respeitosos. É terminantemente proibido debochar, ofender, insultar e/ou caluniar quaisquer pessoas e instituições.

IV. Os nomes dos clubes devem ser escritos sempre da maneira correta. Não serão tolerados apelidos pejorativos para as instituições, sejam quais forem.

V. Não é permitido pedir ou publicar números de telefone/Whatsapp, e-mails, redes sociais, etc.

VI. Respeitem a nossa bela Língua Portuguesa, e evitem escrever em CAIXA ALTA.

Os comentários que não respeitem as regras acima poderão ser excluídos ou não, a critério dos moderadores do blog.