Uma moeda honesta é lançada repetidamente até que 5 caras consecutivas ocorram. Qual é o número esperado de lançamentos da moeda?
PS: no lançamento de uma moeda honesta, as probabilidades de se obter cara ou coroa são iguais: 50% para cada resultado.
PPS: o número esperado de lançamentos é definido como a média do número de lançamentos após a realização do experimento infinitas vezes.
(A fair coin is repeatedly tossed until 5 consecutive heads occur. What is the expected number of coin tosses?
PS: in the toss of a fair coin, the probabilities of getting heads or tails are equal: 50% for each outcome.
PPS: the expected number of tosses is defined as the average of the number of tosses after endless completions of the experiment.)
PCFilho
32
ResponderExcluir32 não é a resposta.
ExcluirA probabilidade de se obter 5 caras em 5 lançamentos é 1 em 32, mas isso não significa que em 32 é o número esperado de lançamentos para se obter 5 caras consecutivas.
Um exemplo mais fácil: qual é o número esperado de lançamentos até que a obtenham duas caras consecutivas?
ExcluirSeja E o número esperado de lançamentos.
Caso o primeiro lançamento seja coroa (probabilidade 1/2), o número esperado de lançamentos passa a ser E + 1.
Caso o primeiro lançamento seja cara mas o segundo coroa (probabilidade 1/4), o número esperado de lançamentos passa a ser E + 2.
Caso os dois primeiros lançamentos sejam cara (probabilidade 1/4), nosso objetivo foi cumprido e o número de lançamentos foi 2.
Assim, podemos concluir que:
E = 1/2*(E + 1) + 1/4*(E + 2) + 1/4*2
Resolvendo a equação:
E - E/2 - E/4 = 1/2 + 1/2 + 1/2
E/4 = 3/2
E = 6
Logo, o número esperado de lançamentos até que se obtenham duas caras consecutivas é 6.
E para 5 caras consecutivas?
It would seem that the number of expected tosses is the solution of this equation:
ExcluirE=(E+1)/2+(E+2)/4+(E+3)/8+(E+4)/16+(E+5)/32+5/32
We now solve this equation for E:
32E=16E+16+8E+16+4E+12+2E+8+E+5+5
32E=31E+62
E=62
Therefore, the expected number of coin tosses is 62.
P.S.: Taking this idea a step further, it would seem that the expected number of tosses before getting N consecutive heads would be:
E(N)=2^(N+1)-2
Well done, Jake! The expected number of coin tosses until getting 5 consecutive heads is 62.
ExcluirAnd yes, the expected number of tosses until getting N consecutive heads is E(N) = 2^(N+1) - 2
:)
Explicação em Português:
ResponderExcluirSeja E o número esperado de lançamentos para obter 5 caras consecutivas. E é um número finito.
Se sair uma coroa no 1º lançamento (probabilidade 1/2), então a sequência recomeça, e o número esperado é E + 1.
Se sair uma cara no 1º lançamento e uma coroa no 2º lançamento (probabilidade 1/4), então o número esperado é E + 2.
Se saírem caras no 1º e no 2º lançamentos e uma coroa no 3º lançamento (probabilidade 1/8), então o número esperado é E + 3.
Se saírem caras no 1º, no 2º e no 3º lançamentos e uma coroa no 4º lançamento (probabilidade 1/16), então o número esperado é E + 4.
Se saírem caras no 1º, no 2º, no 3º e no 4º lançamentos e uma coroa no 5º lançamento (probabilidade 1/32), então o número esperado é E + 5.
Se saírem caras no 1º, no 2º, no 3º, no 4º e no 5º lançamentos (probabilidade 1/32), então já obtivemos a nossa sequência, e o número esperado é 5.
Equacionando:
E = (1/2)*(E+1) + (1/4)*(E+2) + (1/8)*(E+3) + (1/16)*(E+4) + (1/32)*(E+5) + (1/32)*5
(1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32)*E = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 5/32
(1/32)*E = (16+16+12+8+5+5)/32
E = 32 + 30
E = 62