Sonhei que a Seleção Brasileira se vingará da Alemanha na semifinal da Copa do Mundo de 2018, na Rússia. De acordo com o meu sonho, o Brasil vencerá por 10 a 3. Assumindo que os gols são igualmente prováveis de serem marcados em qualquer ordem, qual é a probabilidade de que o jogo nunca tenha estado empatado após o primeiro gol?
(I dreamed that the Seleção Brasileira will get its revenge against Germany in the semifinal of the 2018 World Cup, in Russia. According to my dream, Brazil will win by 10-3. Assuming that the goals are equally likely to be scored in any order, what is the probability that the game was never tied after the first goal?)
PCFilho
Que sonho heim amigo...um belo sonho que gostaria de vê-lo tornar-se real...
ResponderExcluirSeria muito bom, né? Hahaha. Só assim para apagar o vexame do 7 a 1...
ExcluirVamos por etapas! Primeiramente alguem tem que abrir 2 a 0, nesse caso a chance disso acontecer é 50%.
ResponderExcluirSim, alguém tem que abrir 2 a 0, porque senão o placar ficaria 1 a 1, e não pode ficar empatado em momento algum.
ExcluirAté o segundo gol, o quadro de possibilidades é:
- Brasil 1-0, 2-0 Alemanha
- Brasil 1-0, 1-1 Alemanha
- Brasil 0-1, 1-1 Alemanha
- Brasil 0-1, 0-2 Alemanha
Como as sequências são igualmente prováveis, você está certo: a chance de algum time abrir 2-0 é de 50% (2 das 4 possibilidades).
Porém, a Alemanha pode mesmo abrir 2-0? Não pode, porque para o Brasil virar precisaria antes empatar, o que não pode acontecer!!
Portanto, a única possibilidade que nos serve é o Brasil marcar os dois primeiros gols. :)
Fazendo uma conta mais simples: no Alemanha 7 x 1 Brasil, há 8 ordens de gols possíveis (o Brasil marcando o primeiro, ou o segundo, ou o terceiro, ..., ou o oitavo).
ResponderExcluirDessas 8 possibilidades, só em duas o placar chega a ficar empatado. Assim, a probabilidade de o placar nunca ter estado empatado é 6/8 = 3/4 = 75%.
Outro exemplo: Brasil 4 x 2 Alemanha.
ExcluirOrdens de gols possíveis:
0-1, 0-2, 1-2, 2-2, 3-2, 4-2 (houve empate)
0-1, 1-1, 1-2, 2-2, 3-2, 4-2 (houve empate)
0-1, 1-1, 2-1, 2-2, 3-2, 4-2 (houve empate)
0-1, 1-1, 2-1, 3-1, 3-2, 4-2 (houve empate)
0-1, 1-1, 2-1, 3-1, 4-1, 4-2 (houve empate)
1-0, 1-1, 1-2, 2-2, 3-2, 4-2 (houve empate)
1-0, 1-1, 2-1, 2-2, 3-2, 4-2 (houve empate)
1-0, 1-1, 2-1, 3-1, 3-2, 4-2 (houve empate)
1-0, 1-1, 2-1, 3-1, 4-1, 4-2 (houve empate)
1-0, 2-0, 2-1, 2-2, 3-2, 4-2 (houve empate)
1-0, 2-0, 2-1, 3-1, 3-2, 4-2 (não houve empate)
1-0, 2-0, 2-1, 3-1, 4-1, 4-2 (não houve empate)
1-0, 2-0, 3-0, 3-1, 3-2, 4-2 (não houve empate)
1-0, 2-0, 3-0, 3-1, 4-1, 4-2 (não houve empate)
1-0, 2-0, 3-0, 4-0, 4-1, 4-2 (não houve empate)
Dos 15 cenários possíveis, em 10 houve empate após o primeiro gol, e em 5 não houve empate após o primeiro gol.
Assim, a probabilidade de o placar nunca ter estado empatado no caso do placar final de 4 a 2 é 5/15 = 1/3 = 33,33333%.
sensacional
ResponderExcluirExiste uma fórmula fechada para calcular a probabilidade de o jogo nunca ter estado empatado. Isso é que é sensacional!
ExcluirPC, o resultado do problema seria 7/13 e a fórmula da probabilidade (b-a)/(a+b), sendo a os gols da Alemanha e b os gols do Brasil?
ResponderExcluirST
Exato, Marcelo!!
ExcluirA probabilidade de um jogo com o placar 10 x 3 nunca ter estado empatado é de 7/13.
Ou, de maneira mais geral, a probabilidade de um jogo com o placar B x A, com B > A, nunca ter estado empatado é (B - A)/(B + A).
:)
Aqui há uma boa discussão (em inglês) sobre esse problema:
Excluirhttp://datagenetics.com/blog/october22014/index.html
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