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The converse of the theorem also holds.
ResponderExcluirIf the sum of the distances from an interior point of a triangle to the sides is independent of the location of the point, the triangle is equilateral.
O inverso do teorema também é válido.
ExcluirSe a soma das distâncias de um ponto interno de um triângulo aos lados for a mesma independente da localização do ponto, o triângulo é equilátero.
This one's very simple to prove.
ResponderExcluirIf we draw segments from P to the vertices of the triangle, such as in the diagram, we make three triangles, the heights of which are s, t, and u and whose bases are all equal in length to the sides of the original triangle. Therefore, we can express the area of the triangle in two ways:
A = bh/2
A = bs/2 + bt/2 + bu/2 = b(s + t + u)/2
Setting the right sides of these two equations equal to each other, we get:
bh/2 = b(s + t + u)/2
h = s + t + u
Therefore, the height of the equilateral triangle is the sum of the heights of the three smaller triangles.
That's it, Jake!
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