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sábado, 21 de março de 2020

Geometria – Três quadrados em um círculo


Na figura acima, há três quadrados dentro de um círculo. Qual é a área do círculo?

(In the figure above, there are three squares inside a circle. What is the circle's area?)

PCFilho
(pescado no Twitter de Catriona Shearer)
às

2 comentários:

  1. jrh15048222 de março de 2020 às 16:59

    Time to break out our old friend analytic geometry!

    We put the circle on a coordinate plane so that the midpoint of the top side of the largest square is at the origin. This means that the top vertices of the top square are (±3,18) and the bottom vertices of the bottom square are (±9,-18). From the symmetry of these four vertices we conclude that the x-coordinate of the center of the circle is 0. That means an equation of the circle is x^2 + (y-k)^2 = r^2, where k is the still-unknown y-coordinate of the center and r is the radius. We now solve for k and r by plugging in the coordinates of one top vertex and one bottom vertex into this equation:

    3^2 + (18-k)^2 = r^2 -> (k-18)^2 = r^2 - 9 (Equation 1)
    9^2 + (-18-k)^2 = r^2 -> (k+18)^2 = r^2 - 81 (Equation 2)

    Subtracting equation 2 from equation 1, we get:

    2k*-36 = 72

    or

    k = -1

    Therefore the center of the circle is at (0,-1), or 1 unit below the midpoint of the top side of the largest square.

    We now plug k = -1 back into either equation 1 or equation 2:

    (-1+18)^2 = r^2 - 81

    or

    r^2 = 370

    This gives us r^2. Since the area of a circle is π times r^2, that means the area of the circle is 370π square units.

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    Respostas
    1. PC Filho23 de março de 2020 às 02:34

      Perfect, Jake. A beautiful analytic geometry class. :)

      Excluir

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