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sábado, 29 de agosto de 2020

Geometria - Qual é a área do círculo?


Um círculo está inscrito em um triângulo de lados 13, 14 e 15. Catriona Shearer pergunta: qual é a área do círculo?

(A circle is inscribed in a triangle of sides 13, 14 and 15. Catriona Shearer asks: what is the area of the circle?)

PCFilho
(pescado no sempre ótimo Twitter de Catriona)

6 comentários:

  1. Let's define a few variables first:

    r = length of the shorter segment of the side with length 13
    x = length of the longer segment of the side with length 13
    y = length of the longer segment of the side with length 14

    Using these variables, we set up the following system of equations:

    r + x = 13
    r + y = 14
    x + y = 15

    (Since Paulo has posted the method of deriving this system in a past post, this post shall not detail said method, for the sake of brevity.)

    The solution of this system is r = 6, x = 7, and y = 8. Since r is the radius of the circle (again, the reason why is detailed in a previous post on this blog), the area of the circle is (pi)(6)^2, or 36(pi) square units.

    My answer: 36(pi) square units

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    1. Heron’s formula says the area of the triangle is:
      A = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] = √[21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)] = √[21(8)(7)(6)] = √[21(4)(2)(42)] = 84

      But 36(pi) is bigger than 84. What is wrong?

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    2. I assumed that r is equal to the radius of the circle, and that's correct only when the triangle is a right triangle. That's what's wrong with my "solution".

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  2. Área do triângulo pela fórmula de Heron = 84.

    Ligando cada vértice do triângulo ao centro do círculo, tem 3 triângulos menores, cuja soma das áreas também será = 84.

    A base deles é o lado correspondente, e a altura é o raio. Então: (13r)/2 + (14r)/2 + (15r)/2 = 84.

    Resolvendo, temos raio = 4

    Área do círculo seria pi x 4^2 = 16pi.

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    Respostas
    1. É isso aí. O triângulo tem lados 13, 14 e 15... e o círculo inscrito tem área 16pi. :)

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