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Let's define a few variables first:
ResponderExcluirr = length of the shorter segment of the side with length 13
x = length of the longer segment of the side with length 13
y = length of the longer segment of the side with length 14
Using these variables, we set up the following system of equations:
r + x = 13
r + y = 14
x + y = 15
(Since Paulo has posted the method of deriving this system in a past post, this post shall not detail said method, for the sake of brevity.)
The solution of this system is r = 6, x = 7, and y = 8. Since r is the radius of the circle (again, the reason why is detailed in a previous post on this blog), the area of the circle is (pi)(6)^2, or 36(pi) square units.
My answer: 36(pi) square units
Heron’s formula says the area of the triangle is:
ExcluirA = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] = √[21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)] = √[21(8)(7)(6)] = √[21(4)(2)(42)] = 84
But 36(pi) is bigger than 84. What is wrong?
I assumed that r is equal to the radius of the circle, and that's correct only when the triangle is a right triangle. That's what's wrong with my "solution".
ExcluirExactly. :)
ExcluirÁrea do triângulo pela fórmula de Heron = 84.
ResponderExcluirLigando cada vértice do triângulo ao centro do círculo, tem 3 triângulos menores, cuja soma das áreas também será = 84.
A base deles é o lado correspondente, e a altura é o raio. Então: (13r)/2 + (14r)/2 + (15r)/2 = 84.
Resolvendo, temos raio = 4
Área do círculo seria pi x 4^2 = 16pi.
É isso aí. O triângulo tem lados 13, 14 e 15... e o círculo inscrito tem área 16pi. :)
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