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quinta-feira, 10 de setembro de 2020

Geometria - Setores circulares


Qual fração do semicírculo estes quartos de círculo cobrem?

(What fraction of the semicircle do these quarter circles cover?)

PCFilho
(pescado no sempre ótimo Twitter de Catriona Shearer)
às

2 comentários:

  1. jrh15048211 de setembro de 2020 às 10:32

    This one is pretty simple. Before we do anything, let's take the diameter of the semicircle to be 1.

    First, we start by drawing line segments from where the left quarter-circle intersects the semicircle to where the quarter-circle on the right intersects the semicircle and from that point to the right endpoint of the base of the figure. These two segments, together with the base of the figure, form a right triangle. Next, we draw the altitude of this right triangle that is orthogonal to the base of the figure. This altitude divides the right triangle into two smaller right triangles that are each similar to the original triangle and thus to each other. The larger of the two new triangles has one leg that is twice as long as the other one. The shorter leg of this triangle is the longer leg of the other new triangle, so the shorter leg of the smaller of the new triangles has one-fourth the length of the longer leg of the larger new triangle. So, the base of the figure has five times the length of the shorter leg of the smaller new triangle, or two-and-a-half times the shorter leg of the larger new triangle. Since the base of the figure also has length 1, the length of the larger new triangle's shorter leg must be 2/5. This length is also the radius of both quarter-circles. We then arrange the two quarter-circles so that they form a semicircle, and the diameter of this semicircle is 4/5. So, the ratio between the areas of these semicirles is 4/5 squared, or 16/25. So, the quarter-circles cover 16/25 of the semicircle's area.

    My answer: 16/25 (or 64 percent)

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