Regras para postar comentários:
I. Os comentários devem se ater ao assunto do post, preferencialmente. Pense duas vezes antes de publicar um comentário fora do contexto.
II. Os comentários devem ser relevantes, isto é, devem acrescentar informação útil ao post ou ao debate em questão.
III. Os comentários devem ser sempre respeitosos. É terminantemente proibido debochar, ofender, insultar e/ou caluniar quaisquer pessoas e instituições.
IV. Os nomes dos clubes devem ser escritos sempre da maneira correta. Não serão tolerados apelidos pejorativos para as instituições, sejam quais forem.
V. Não é permitido pedir ou publicar números de telefone/Whatsapp, e-mails, redes sociais, etc.
VI. Respeitem a nossa bela Língua Portuguesa, e evitem escrever em CAIXA ALTA.
Os comentários que não respeitem as regras acima poderão ser excluídos ou não, a critério dos moderadores do blog.
Consideremos: D = diâmetro (ou diagonal do retângulo), Θ = ângulo entre D e a base
ResponderExcluirÁrea do retângulo como S = D x senΘ x D x cosΘ = D^2 x senΘcosΘ
D é constante. Produto do seno com o cosseno do ângulo Θ (variável) é que manda. E o maior produto é o do ângulo de 45°, o que nos dá um QUADRADO.
É isso aí. O maior retângulo que pode ser inscrito em um círculo é o quadrado. :)
ExcluirSince the rectangle is inscribed in the circle, the distance from the center of the circle to any of the rectangle’s vertices is equal to the radius of the circle. Taking r to be the radius of the circle, each of the rectangle’s diagonals has a length equal to 2r. If we take θ to be the measure of the angle between the rectangle’s diagonals, we see that two of the triangles each have area equal to (r²/2) sin θ and the other two triangles each have area equal to (r²/2) sin (π – θ) = (r²/2) sin θ. So, if we denote the area of the rectangle as a function of θ, we can write:
ResponderExcluirA(θ) = 4[(r²/2) sin θ] = 2r² sin θ, 0 ≤ θ ≤ π
To find the value of θ where the area is at a maximum, we differentiate A(θ) with respect to θ:
dA/dθ = 4r² cos θ
The maximum value occurs at a value of θ for which dA/dθ = 0. So, we set the right side of the above equation equal to 0 and solve for θ:
4r² cos θ = 0
cos θ = 0
θ = π/2
Since this is the only solution that falls in the interval 0 < θ < π, we say that the maximum area occurs at θ = π/2. So, the maximum area is A(π/2) = 2r² sin (π/2) = 2r². Since θ = π/2, that means that the diagonals of the rectangle are perpendicular. So, the rectangle is also a rhombus, which means that we have a square here. The fraction of the circle’s area represented by the square is (2r²)/(πr²) = 2/π.
My answer: The rectangle with maximum area is a square, its area is 2r² square units, and the fraction of the circle’s area taken up by the square is 2/π.
Now, for the bonus question.
We established earlier that the area of the rectangle as a function of θ is A(θ) = 2r² sin θ. To find the average value of this function from 0 to π, we find the definite integral of A(θ) from 0 to π and divide by π:
D(θ) = ∫ A(θ) dθ = ∫ 2r² sin θ dθ = –2r² cos θ
Average value = [1/(π – 0)][D(π) – D(0)] = (1/π)[–2r²(–1) – (–2r²)(1)] = (1/π)(4r²) = 4r²/π
My answer to the bonus question: 4r²/π square units