James Tanton pergunta em seu Twitter: uma potência de dois pode ser a hipotenusa de um triângulo retângulo com lados inteiros?
(James Tanton asks on his Twitter: can a power of two be the hypotenuse of an integer right triangle?)
PCFilho
sexta-feira, 20 de novembro de 2020
5 comentários:
Regras para postar comentários:
I. Os comentários devem se ater ao assunto do post, preferencialmente. Pense duas vezes antes de publicar um comentário fora do contexto.
II. Os comentários devem ser relevantes, isto é, devem acrescentar informação útil ao post ou ao debate em questão.
III. Os comentários devem ser sempre respeitosos. É terminantemente proibido debochar, ofender, insultar e/ou caluniar quaisquer pessoas e instituições.
IV. Os nomes dos clubes devem ser escritos sempre da maneira correta. Não serão tolerados apelidos pejorativos para as instituições, sejam quais forem.
V. Não é permitido pedir ou publicar números de telefone/Whatsapp, e-mails, redes sociais, etc.
VI. Respeitem a nossa bela Língua Portuguesa, e evitem escrever em CAIXA ALTA.
Os comentários que não respeitem as regras acima poderão ser excluídos ou não, a critério dos moderadores do blog.
We start with the Pythagorean Theorem:
ResponderExcluira² + b² = (2ⁿ)² = 2²ⁿ = (2²)ⁿ = 4ⁿ
Since the sum of a² and b² is even, that means that a and b are both odd or both even.
(Case #1: a and b are both odd)
If a and b are both odd, we have:
a = 2h + 1, where h is a positive integer
b = 2k + 1, where k is a positive integer
(2h + 1)² + (2k + 1)² = 4ⁿ
4(h² + h + k² + k) + 2 = 4ⁿ
Notice that the left side of this equation will never be divisible by 4 and the right side will always be divisible by 4. This contradicts the assertion that they’re equal, which means that this case is impossible.
(Case #2: a and b are both even)
If a and b are both even, then gcf(a,b) = 2ᵐ, where m is an integer that is less than half n, and:
a = 2ᵐx, where x is an odd integer
b = 2ᵐy, where y is an odd integer
(2ᵐx)² + (2ᵐy)² = 4ⁿ
x² + y² = 4ⁿ⁻²ᵐ
Here, we have two odd integers being the lengths of the legs of a right triangle whose hypotenuse is a power of 2. But, we’ve seen in Case #1 that this is impossible. Since the assumption in this case also leads to a contradiction, we must conclude that this case is also impossible.
Therefore, it is impossible for the length of a right triangle’s hypotenuse to be a power of 2.
Well done, Jake!! What a beautiful demonstration!
ExcluirExcept that the part that says 4^(n-2m) should say 4^(n-m).
ExcluirAlso, in Case #2, it is possible for one of x and y to be odd and the other even, which would contradict the assertion that the sum of their squares is even anyway.
ExcluirHere is a list of all possible hypotenuses up to 140: https://oeis.org/A009003
ResponderExcluirAs expected, none of them are powers of two.