Uma corda de comprimento 6 divide o quadrado ao meio. Qual é a área do semicírculo?
(A chord, of length 6, splits the square in half. What is the area of the semicircle?)
PCFilho
(problema pescado no sempre ótimo Twitter da professora Catriona Agg)
sábado, 23 de janeiro de 2021
Um comentário:
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Given: The chord shown in the diagram has a length of 6 units.
ResponderExcluirThe quadrilateral split by the chord is a square.
The trapezoids formed by the splitting of the square are congruent.
Question: What is the area of the semicircle?
First off, we locate the midpoint of the semicircle’s diameter. Then we draw line segments from this point to the endpoints of the chord. These new segments have a length equal to the radius of the semicircle, which we’ll call r for now. Also, let’s call the measure of the acute angle between the radius on the right and the semi-circle’s diameter θ. So, the lengths of the vertical sides of each trapezoid are (r sin θ) and (r cos θ). This means that the square’s side length is (r cos θ + r sin θ). Now, let’s draw a line segment parallel to the base of the square that passes through one of the chord’s endpoints. This creates a right triangle. The hypotenuse of this right triangle is the chord, so its length is 6. One leg is equal in length to the base of the square, so its length is [r (cos θ + sin θ)], and the other leg’s length is the difference in length between the two vertical sides of the trapezoid, or (r|cos θ – sin θ|). Thus, by the Pythagorean Theorem:
[r|cos θ – sin θ|]² + [r(cos θ + sin θ)]² = 6²
r²(cos² θ + sin² θ – 2 cos θ sin θ + cos² θ + sin² θ + 2 cos θ sin θ) = 36
2r²(cos² θ + sin² θ) = 36
2r² = 36
r² = 18
Thus, the square of the radius is 18. The area of the semicircle, therefore, is π/2 times this amount, or 9π.
My answer: 9π square units