(The red tilted square is in a square. The side of the red square is 4. What is the area in yellow?)
PCFilho
(pescado no Twitter de Rony Sarker)
segunda-feira, 3 de julho de 2023
Geometria - Quadrado em quadrado
4 comentários:
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Este comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirGiven:
ResponderExcluirABCD and EFGH are squares
A is on segment EF
B is on segment FG
C is on segment GH
D is on segment HE
AB = 4
Find the area of the region between segments BH and DG.
Let's label a point:
I = point of intersection of segments BH and DG
Now let’s label some lengths and angle measures:
x = length of segment EA
y = length of segment AF
h₁ = altitude of △BGI
h₂ = altitude of △HDI
θ = measure of ∠BAF, the acute angle between segments AB and EF
Thus:
x = 4 sin θ, y = 4 cos θ
→ EF = x + y = 4(sin θ + cos θ) = h₁ + h₂
Since segment BG ∥ segment HD, and ∠BIG is congruent to ∠HID (due to vertical angles being congruent), △BGI ~ △HDI. Therefore, h₂/h₁ = HD/BG = 4 sin θ/(4 cos θ) = tan θ; that is, h₂ = h₁ tan θ. Thus:
h₁ + h₁ tan θ = 4(sin θ + cos θ)
→ h₁(1 + tan θ) = 4(sin θ + cos θ)
→ h₁(cos θ + sin θ)/cos θ = 4(sin θ + cos θ)
→ h₁/cos θ = 4
→ h₁ = 4 cos θ (!!)
→ h₂ = 4 cos θ tan θ = 4 sin θ
Thus:
Area of yellow region = (1/2)[(BG)h₁ + (HD)h₂]
= (1/2)[(4 cos θ)(4 cos θ) + (4 sin θ)(4 sin θ)]
= (1/2)[16 (cos² θ + sin² θ)]
= (1/2)(16)
= 8
My answer: The area of the yellow region is 8 square units.
It is interesting that the area of the yellow region is 8 regardless of the angle between the squares.
ExcluirA generalization for any side length of the red square: The area of the yellow region is half the area of the red square.
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