A lenda da criação do xadrez e números muito grandes

Reza a lenda que o primeiro jogo similar ao que conhecemos hoje como xadrez teria sido inventado por um brâmane indiano, alguns séculos antes de Cristo; e que o príncipe da Índia teria prometido recompensá-lo com uma quantidade de grãos assim calculada: 1 grão pela 1ª casa do tabuleiro, 2 grãos pela 2ª casa, 4 grãos pela 3ª casa, 8 grãos pela 4ª casa, e assim por diante, até a 64ª casa. O antigo jornal semanal carioca "A Luz" (o mesmo no qual encontrei aquele método para calcular o dia da semana de uma data qualquer) publicou essa história, no dia 27 de novembro de 1870 (um domingo, por sinal):

A Luz (Rio de Janeiro), 27/11/1870.

Percebi imediatamente que o cálculo do antigo jornal estava incorreto. Afinal, o número de grãos deveria ser ímpar, porque é a soma de 1 com um número par. Com alguma engenhosidade, é possível mandar o computador fazer a conta (um recurso que o pessoal de "A Luz" evidentemente não tinha, há 148 anos). O número de grãos é, na verdade, próximo do dobro do noticiado pelo jornal: precisamente 18.446.744.073.709.551.615 (também conhecido como 2 elevado a 64ª potência menos 1).

A conta de 16.384 cidades com 1.024 celeiros com 171.762 medidas de 32.768 grãos também está errada: resultaria em "somente" 94.427.158.105.030.656 grãos, uma quantidade aproximadamente 195 vezes menor que o pagamento combinado.

O brâmane certamente não recebeu a recompensa prometida pelo príncipe. A atual produção mundial de grãos é estimada em 2 bilhões de toneladas. De acordo com a Embrapa, 150 gramas de café equivalem a 1.000 grãos - então, grosso modo, são produzidos por ano 13.333.333.333.333.333 grãos no mundo atualmente. A recompensa prometida é, portanto, equivalente a toda a produção mundial de grãos atual, durante 1.383 anos e 6 meses. Se a conta for feita com grãos de milho, que pesam mais, a produção mundial anual terá menos grãos, e serão necessários mais alguns séculos.

Antes de fazer uma promessa, faça as contas.

PCFilho