## quarta-feira, 24 de fevereiro de 2016

### A hora da simetria

A que horas exatamente entre 8:15 e 8:20 o ponteiro dos minutos e o ponteiro das horas de um relógio analógico ideal fazem o mesmo ângulo com a vertical?

(At what exact time between 8:15 and 8:20 do the minute hand and the hour hand of an ideal analog clock make the same angle with the vertical?)

PCFilho
(problema proposto por Holger Dambeck, no Spiegel Online)

#### 6 comentários:

1. Hour hand moves 360° in 24 h=1440 min=86400 s
Rate of hour hand=360°/(86400 s)=(1/240)(°/s)

Minute hand moves 360° in 1 h=3600 s
Rate of minute hand=360°/(3600 s)=(1/10)(°/s)

t=0 s corresponds to 8:15, t=300 s corresponds to 8:20
The 6 mark is 0°
At 8:00 hour hand is at 60° and minute hand is at -180°
At 8:15 (900 s after 8:00) hour hand is at (60+(900/240))°=(255/4)°
At 8:15 minute hand is at -90°

θh(t)=position in degrees of hour hand at time t
θm(t)=position in degrees of minute hand at time t
θh(t)=255/4+t/240
θm(t)=-90+t/10

We find the value of t for which θh=-θm:
255/4+t/240=90 – t/10
t/240+t/10=90-255/4
25t/240=105/4
t=(105/4)(240/25)=(25200/100)=252 s

The time is 252 seconds after 8:15, or 8:19 and 12 seconds.

1. Jake, the hour hand moves 360 degrees not in 24 hours, but in 12 hours.

That was probably your only mistake.

2. And it's a major one, because correcting it changes the answer.

2. Correcting my mistake:

Hour hand moves 360° in 12 h=720 min=43200 s
Rate of hour hand=360°/(43200 s)=(1/120)(°/s)

Minute hand moves 360° in 1 h=3600 s
Rate of minute hand=360°/(3600 s)=(1/10)(°/s)

t=0 s corresponds to 8:15, t=300 s corresponds to 8:20
The 6 mark is 0°
At 8:00 hour hand is at 60° and minute hand is at -180°
At 8:15 (900 s after 8:00) hour hand is at (60+(900/120))°=(135/2)°
At 8:15 minute hand is at -90°

θh(t)=position in degrees of hour hand at time t
θm(t)=position in degrees of minute hand at time t
θh(t)=135/2+t/120
θm(t)=-90+t/10

We find the value of t for which θh=-θm:
135/2+t/120=90–t/10
t/120+t/10=90-135/2
13t/120=45/2
t=(45/2)(120/13)=2700/13=(207+9/13) s

The time is 207 and 9/13 seconds after 8:15, or 8:18 and 27 and 9/13 seconds.

1. Now it is perfect, Jake. :-)

3. Solução em português:

O ponteiro da hora anda 1/12 da volta completa a cada hora, ou 1/43200 da volta completa a cada segundo.

O ponteiro do minuto anda 1 volta completa a cada hora, ou 1/3600 da volta completa a cada segundo.

(Uma hora tem 60*60 = 3600 segundos.)

Os ponteiros farão o mesmo ângulo com a vertical quando a distância para o ponteiro da hora chegar até as 12:00 for igual à distância que o ponteiro dos minutos percorreu desde as 20:00.

Sejam x o número de segundos transcorridos entre 20:15 e a hora da simetria, m a distância que o ponteiro dos minutos percorreu desde as 20:00, e h a distância que falta para o ponteiro das horas chegar até as 12:00.

m = (15*60 + x) segundos * 1/3600 voltas por segundo
m = 15/60 + x/3600 voltas

h = ((180+45)*60 - x) segundos * 1/12 voltas por hora * 1/3600 horas por segundo
h = 225/720 - x/43200 voltas

Fazendo m = h:
15/60 + x/3600 = 225/720 - x/43200
15 + x/60 = 225/12 - x/720
12*15 + x/5 = 225 - x/60
x/5 + x/60 = 225 - 180
13x = 45*60
x = 45*60/13 = 207,6923 segundos

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