## quinta-feira, 9 de abril de 2020

Seja A o centro do triângulo equilátero na figura acima. Se a área do quadrado é 12, qual é a área do retângulo rosa?

(Let A be the center of the equilateral triangle in the figure above. If the area of the square is 12, what is the area of the pink rectangle?)

PCFilho
(mais um problema do excelente Twitter de Ed Southall)

#### 3 comentários:

1. Again, deceptively easy.

The area of the square is 12 square units, so its side length is √12, or 2√3. That's also the distance from the center of the equilateral triangle to one of its vertices, so the side length of the equilateral triangle is √3 times that, or 6. And since one of the equilateral triangle's sides coincides with a long side of the pink rectangle, that's also the length of the long sides of the pink rectangle. Now we find the length of the short sides. Notice that the upper left angle of the square is the upper left corner of the pink rectangle rotated. This means that the smallest angles of the two right triangles are congruent. By the geometry of a right triangle, the smallest angle of the white right triangle has a measure of 30°, so that's also what the measure of the smallest angle of the pink right triangle must be. The pink right triangle's long leg is the short side of the pink rectangle and its hypotenuse is one of the sides of the square, which, as shown previously, has a length of 2√3. So the length of the pink rectangle's short sides is 2√3 cos 30° = 2√3(√3/2) = 3 units. Since the pink rectangle's short sides are 3 units long and its long sides are 6 units long, its area is 6 * 3 = 18 square units.

1. Correction: "By the geometry of a right triangle" should be "By the geometry of an equilateral triangle" instead.

2. Well done, Jake!!

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