Geometria - Uma versão diferente da fórmula de Heron

Meu amigo Jake Hoover me enviou um e-mail derivando uma outra versão da famosa fórmula de Heron.

Como vocês sabem, a fórmula de Heron diz que, para um triângulo com lados a, b e c e área A:

onde s = (a + b + c)/2.

Agora, vamos desenhar o círculo inscrito do triângulo. O centro deste círculo é o incentro do triângulo, o que significa que ele é o ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos do triângulo. Portanto, se nós então desenharmos os segmentos mais curtos que conectam o incentro aos lados, teremos dividido o triângulo em três pares de triângulos congruentes.

Portanto, se nós chamarmos de x e y os segmentos menores do lado a, e de z o segmento mais longo do lado b, temos o seguinte:

a = x + y

b = x + z

c = y + z

Assim, s = x + y + z e nós podemos deduzir que:

Muito legal, Jake. Obrigado!

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My friend Jake Hoover has sent me an e-mail deriving another version of the famous Heron's formula.

As you know, Heron's formula states that for a triangle with side lengths a, b and c and area A:

where s = (a + b + c)/2.

Now, let's draw the triangle's incircle. The center of this circle is the triangle's incenter, which means it's the point of intersection of the triangle’s angle bisectors. Therefore, if we then draw the shortest line segments that connect the incenter with the sides, we will have divided the triangle into three pairs of congruent triangles.

Therefore, if we call x and y the smaller segments of the side a, and z the longer segment of the side b, we have the following:

a = x + y

b = x + z

c = y + z

Thus s = x + y + z and we can deduce that:

Very neat, Jake. Thank you!

PCFilho