Questão da OBMEP 2023

Uma questão bonitinha de lógica na OBMEP 2023: As idades de três crianças são 7, 8 e 9 anos. Na figura, vemos a resposta de cada uma delas, quando perguntadas sobre suas idades. A criança com 8 anos foi a única que mentiu.

A: "Não é 7".

B: "Não é 8".

C: "Não é 9".

Quem é a criança mais velha e quem é a criança mais nova?

PCFilho

Um enigma planetário

Um enigma de Vladimir Dubrovsky, da Quantum, janeiro-fevereiro de 1992:

Em um certo sistema planetário, as distâncias entre quaisquer dois planetas são sempre diferentes. Em cada planeta, está um astrônomo que observa o planeta mais próximo a ele. Prove que, se o número total de planetas for ímpar, tem que haver um planeta que ninguém está observando.

(A puzzle by Vladimir Dubrovsky, from Quantum, January-February 1992:

In a certain planetary system, no two planets are separated by the same distance. On each planet sits an astronomer who observes the planet closest to hers. Prove that if the total number of planets is odd, there must be a planet that no one is observing.)

PCFilho

(pescado no Futility Closet)

Um Sudoku especial (Jonas Gleim)

Anti-Knight Sudoku, Jonas Gleim.

Este é um desafio Sudoku especial, composto por Jonas Gleim. As regras normais do Sudoku se aplicam (cada linha, cada coluna e cada uma das nove caixas 3x3 devem conter os dígitos 1 a 9). Além disso, células que estão separadas por um movimento de cavalo do xadrez não podem conter o mesmo dígito. A solução é única.

(This is a special Sudoku puzzle, composed by Jonas Gleim. The normal Sudoku rules apply (each row, each column and each one of the nine 3x3 boxes must contain the digits 1 to 9). In addition, cells that are a chess knight's move apart cannot contain the same digit. The solution is unique.)

PCFilho

Matemática - Um problema de chapéus

Um problema de Ezra Brown e James Tanton ("A Dozen Hat Problems", abril de 2009):

Três gnomos se sentam em um círculo. Um malvado vilão coloca um chapéu na cabeça de cada gnomo. Cada chapéu é ou vermelho ou marrom, a cor escolhida pelo lançamento de uma moeda. Cada gnomo pode ver a cor dos chapéus dos amigos, mas não a cor do próprio chapéu.

Ao sinal do vilão, todos os três gnomos devem falar ao mesmo tempo, cada um ou adivinhando a cor do próprio chapéu ou dizendo "Passo". Se pelo menos um adivinhar corretamente e nenhum adivinhar incorretamente, os gnomos viverão. Mas se um adivinhar incorretamente, ou se os três passarem, eles morrerão.

Eles não podem se comunicar de nenhuma maneira durante o jogo, mas podem traçar uma estratégia antes do jogo. Como eles devem proceder para ter uma chance de 75% de sobrevivência?

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A puzzle by Ezra Brown and James Tanton ("A Dozen Hat Problems", April 2009):

Three gnomes sit in a circle. An evil villain puts a hat on each gnome's head. Each hat is either rouge or puce, the color chosen by the toss of a coin. Each gnome can see the color of his friends' hats, but not of his own.

At the villain's signal, all three gnomes must speak at once, each either guessing the color of his own hat or saying "Pass". If at least one of them guesses correctly and none guesses incorrectly, the gnomes will live. But if any of them guesses incorrectly, or if all three pass, they'll die.

They may not communicate in any way during the game, but they can create a strategy beforehand. How should they proceed in order to have a 75% chance of survival?

PCFilho

(pescado no Futility Closet)

Matemática - O paradoxo de Bertrand

Em seu "Calcul des probabilités" (1889), o matemático francês Joseph Bertrand enunciou um problema que intrigaria matemáticos pelas décadas seguintes. Inscreva um triângulo equilátero em um círculo, e então escolha aleatoriamente uma corda (segmento que une dois pontos distintos do círculo). Qual é a probabilidade de que esta corda seja maior que um lado do triângulo? Aparentemente, há mais que uma solução válida. 

O primeiro método proposto por Bertrand: escolha dois pontos aleatórios no círculo e desenhe a corda entre eles, então rotacione o triângulo até que um de seus vértices coincida com um dos pontos. A corda é maior que um lado do triângulo quando o outro ponto cai no arco entre os outros dois vértices do triângulo (casos desenhados em vermelho na figura). Este arco é um terço da circunferência total do círculo. Então, por este argumento, a probabilidade é 1/3.

O segundo método proposto por Bertrand se baseia na figura acima. Escolha um raio do círculo, escolha um ponto nesse raio, e desenhe a corda perpendicular ao raio, passando pelo ponto escolhido. Agora imagine rotacionar o triângulo até que um dos seus lados também intercepte o raio perpendicularmente. A corda será maior que o lado do triângulo se o ponto escolhido estiver mais próximo do centro do círculo que a interseção do raio com o lado (casos desenhados em vermelho na figura). Como o lado do triângulo divide o raio em dois segmentos iguais, por esse argumento a probabilidade é 1/2.

Bertrand propôs ainda uma terceira solução, com esta outra figura. Escolha um ponto qualquer dentro do círculo e desenhe a corda para a qual ele é o ponto médio. A corda será maior que um lado do triângulo se o ponto escolhido cair dentro do círculo concêntrico cujo raio é metade do raio do círculo maior (casos desenhados em vermelho na figura). Como esse círculo menor tem um quarto da área do círculo maior, por esse argumento a probabilidade é 1/4.

Há ainda outras possibilidades, propostas por diversos matemáticos ao longo das décadas, resultando em probabilidades diferentes. O paradoxo ainda gera discussões no século XXI.

Qual é a resposta certa? Após alguma reflexão, eu me lembrei de uma velha lição: probabilidades só podem ser calculadas quando estão claramente definidas. Na minha visão, este é o problema do elegante enunciado de Bertrand: o método que produz sua variável aleatória – a corda – não está claramente definido, e é exatamente desta ambiguidade que surge o paradoxo. Então, para mim, pode ser 1/2, pode ser 1/3 e pode ser 1/4 – depende do mecanismo escolhido para produzir as cordas aleatórias.

PCFilho

(pescado no Futility Closet - read it in English by clicking here)

Enigma: as três amigas no trem

Três amigas estão viajando num trem movido a carvão, que entra num longo túnel. Quando a locomotiva sai desse túnel, as amigas olham umas para as outras e caem na gargalhada, cada uma percebendo que as outras duas garotas estão com os rostos cobertos de fuligem. De repente, uma delas pára de rir. Por quê?

(Three friends are travelling in a steam train, which enters a long tunnel. When the locomotive exits this tunnel, the friends look at each other and burst into laughter, each one noticing that the other two girls have their faces covered with soot. Suddenly, one of them stops laughing. Why?)

PCFilho

Lógica - Quem é o ladrão dos doces?

Um problema de lógica, criado por Wayne M. Delia e Bernadette D. Barnes, publicado no Pi Mu Epsilon Journal, volume 7, número 3, outono de 1980 (não é tão difícil quanto parece!).

Cinco crianças — Ivan, Silvia, Ernesto, Dennis e Linda — entraram em uma loja de doces, e uma delas roubou uma caixa de doces da prateleira. Depois, cada criança deu três declarações:

Ivan:

1. Eu não peguei a caixa de doces.

2. Eu nunca roubei nada.

3. Dennis roubou.

Silvia:

4. Eu não peguei a caixa de doces.

5. Eu sou rica e posso comprar meus próprios doces.

6. Linda sabe quem é o ladrão.

Ernesto:

7. Eu não peguei a caixa de doces.

8. Eu não conhecia Linda até esse ano.

9. Dennis roubou.

Dennis:

10. Eu não peguei a caixa de doces.

11. Linda roubou.

12. Ivan está mentindo quando diz que eu roubei a caixa de doces.

Linda:

13. Eu não peguei a caixa de doces.

14. Silvia é culpada.

15. Ernesto pode atestar por mim, porque ele me conhece desde que eu era bebê, oito anos atrás.

Se cada criança deu uma declaração falsa e duas verdadeiras, então quem roubou a caixa de doces?

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A problem of logic, created by Wayne M. Delia and Bernadette D. Barnes, published in the Pi Mu Epsilon Journal, volume 7, number 3, Fall 1980 (it's not as hard as it seems!).

Five children — Ivan, Silvia, Ernesto, Dennis and Linda — entered a candy store, and one of them stole a box of candy from the shelf. Afterward, each child made three statements:

Ivan:

1. I didn’t take the box of candy.

2. I have never stolen anything.

3. Dennis did it.

Silvia:

4. I didn’t take the box of candy.

5. I’m rich and I can buy my own candy.

6. Linda knows who the crook is.

Ernesto:

7. I didn’t take the box of candy.

8. I didn’t know Linda until this year.

9. Dennis did it.

Dennis:

10. I didn’t take the box of candy.

11. Linda did it.

12. Ivan is lying when he says I stole the box of candy.

Linda:

13. I didn’t take the box of candy.

14. Silvia is guilty.

15. Ernesto can vouch for me, because he has known me since I was a baby eight years ago.

If each child made one false and two true statements, then who stole the box of candy?

PCFilho