## quinta-feira, 7 de maio de 2020

### Geometria – Dois círculos e um quadrilátero

Na figura acima, encontre a razão da área do círculo vermelho para a do círculo azul.

(In the figure above, find the ratio of the area of the red circle to that of the blue circle.)

PCFilho

#### 2 comentários:

1. To start, let’s label some points:
A, B, C, D: the four vertices of the trapezoid, starting with the top vertex and going counterclockwise

First, we put this figure onto a coordinate plane so that D is the origin. This means:
Coordinates of A = (0, 9)
Coordinates of B = (–7, 4)
Coordinates of C = (–7, 0)

First, we calculate the length of segment AB:
AB = √[(9 – 4)² + 7²] = √74

Now, we draw segments AC and BD and calculate their lengths:
AC = √(9² + 7²) = √130
BD = √(4² + 7²) = √65

Note that △ABC is inscribed in the red circle and △ABD in the blue circle. These facts will be important later.

Let’s compute some vectors:
Vector AB = <–7 – 0, 4 – 9> = <–7, –5>
Vector AC = <–7 – 0, 0 – 9> = <–7, –9>
Vector AD = <0 – 0, 0 – 9> = <0, –9>

We can then use determinants to calculate the areas of △ABC and △ABD:
Area of △ABC = [(–7)(–9) – (–7)(–5)]/2 = 28/2 = 14
Area of △ABD = [(–7)(–9) – (0)(–5)]/2 = 63/2

For a triangle inscribed in a circle, this formula is used to calculate the radius of that circle:
radius = abc/(4 * area of triangle), where a,b,c are the lengths of the triangle’s sides

Using this formula, we can calculate the radii of the two circles and their ratio (where r₁ is the radius of the red circle and r₂ is the radius of the blue circle):
r₁ = (AB)(BC)(AC)/(4 * area of △ABC) = (√74)(4)(√130)/56 = 4√9620/56 = √9620/14
r₂ = (AB)(BD)(AD)/(4 * area of △ABD) = (√74)(√65)(9)/126 = 9√4810/126 = √4810/14
r₁/r₂ = (√9620/7)/(√4810/7) = √2

Let’s call the area of the red circle A₁ and the area of the blue circle A₂. Thus:
A₁/A₂ = πr₁²/πr₂² = r₁²/r₂² = (r₁/r₂)² = (√2)² = 2

Thus, the ratio of the area of the red circle to the area of the blue circle is 2:1.

1. I just love your analytical geometry solutions, Jake. Well done again!

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