quarta-feira, 31 de dezembro de 2014

Matemática - O Teorema de Nicomachus

Prova gráfica do Teorema de Nicomachus.

Por volta do ano 100 d.C., o matemático Nicomachus de Gerasa observou que "a soma dos cubos de 1 a n é igual ao quadrado da soma de 1 a n":

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)²

Ou, de maneira formal:


A figura acima demonstra graficamente o Teorema de Nicomachus. Contando os quadrados individualmente, vemos que:
1×1² + 2×2² + 3×3² + 4×4² + 5×5² + 6×6²
= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ 
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)²

Abaixo, listo os principais passos de uma demonstração algébrica do Teorema.

Considere as seguintes igualdades:
...

Somando as (n + 1) equações acima, temos:

Desenvolvendo a equação resultante, é possível chegar a:

(se o leitor gosta de manipulações algébricas, tente, é um belo exercício!)

Daqui em diante, a demonstração é trivial:



,

conforme queríamos demonstrar.

PCFilho

4 comentários:

  1. Tá de sacanagem, né, PC??? Feliz ano novo, camarada!

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    1. Leandro, meu caro amigo, é só mais um teorema bonitinho pra encerrar o ano. :)

      Melhor que falar de especulações de contratações (as quais eu não suporto).

      Feliz ano novo, querido! Saudações Tricolores!

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  2. Resumindo, não entendi patavinas.
    Feliz 2015 pra todos. Só não no futebol. Que o time de vcs perca bastante e o meu conquiste vários titulos.:-) :-) :-)

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    1. Que o Flamengo conquiste mesmo vários títulos... de vice-campeão. hehehe!

      E que o Fluminense volte a levantar taças, que eu já estou com saudade. :)

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