## quinta-feira, 6 de maio de 2021

### Geometria - Quartos de círculo

As áreas dos quartos de círculo são 4 e 2. Qual é a área do semicírculo?

(The areas of the quarter circles are 4 and 2. What is the area of the semicircle?)

PCFilho

#### 2 comentários:

1. Let’s call the radius of the smaller quarter-circle x. Since the larger quarter-circle has twice the area of the smaller one, this means that its radius is √2 times the area of the smaller one; that is, its radius is (√2)x. Now we draw a line segments from the point of intersection of the semi-circle and the larger quarter-circle to the left and right endpoints of the base of the semi-circle. Since the base of the semi-circle is also its diameter, the triangle we have just constructed is a right triangle. Now we draw the altitude of this triangle that intersects the base of the semi-circle, whose length is x (since its length is the same as the radius of the smaller quarter-circle). Since the base of the semi-circle is the hypotenuse of this right triangle, the altitude we have just drawn divides it into two smaller right triangles that are similar to it and to each other. We now find the length of the line segment between the foot of the altitude and the right endpoint of the base of the semi-circle. This length is x + (√2)x, or (√2 + 1)x. So, the ratio between the length of this line segment and the altitude is (√2 + 1). This means that the length of the line segment between the foot of the altitude and the left endpoint of the base of the semi-circle is x/(√2 + 1), or (√2 – 1)x. Therefore, the length of the base of the semi-circle is (√2 + 1 + √2 – 1)x, or (2√2)x. This means that the semi-circle has the same radius as the larger quarter-circle and therefore its area is exactly twice this quarter-circle’s area. Since the area of the larger quarter-circle is 4, this means that the area of the semi-circle is 8.

1. Well done, Jake!! Brilliant solution.

Regras para postar comentários:

I. Os comentários devem se ater ao assunto do post, preferencialmente. Pense duas vezes antes de publicar um comentário fora do contexto.

II. Os comentários devem ser relevantes, isto é, devem acrescentar informação útil ao post ou ao debate em questão.

III. Os comentários devem ser sempre respeitosos. É terminantemente proibido debochar, ofender, insultar e/ou caluniar quaisquer pessoas e instituições.

IV. Os nomes dos clubes devem ser escritos sempre da maneira correta. Não serão tolerados apelidos pejorativos para as instituições, sejam quais forem.

V. Não é permitido pedir ou publicar números de telefone/Whatsapp, e-mails, redes sociais, etc.

VI. Respeitem a nossa bela Língua Portuguesa, e evitem escrever em CAIXA ALTA.

Os comentários que não respeitem as regras acima poderão ser excluídos ou não, a critério dos moderadores do blog.