segunda-feira, 30 de agosto de 2021

Matemática - Senos multiplicados



Acima, uma igualdade que me deixou surpreso. Você consegue prová-la?

(Above, an equality that surprised me. Can you prove it?)

PCFilho
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3 comentários:

  1. jrh15048231 de agosto de 2021 às 07:52

    Prove that sin 6° sin 42° sin 66° sin 78° = 1/16.

    sin 6° sin 42° sin 66° sin 78° = sin 6° sin 42° sin [(180 – 66)°] sin 78°
    = sin 6° sin 42° sin 78° sin 114°
    = sin (60 – 54)° sin (60 – 18)° sin (60 + 18)° sin (60 + 54)°
    = sin (60 – 54)° sin (60 + 54)° sin (60 – 18)° sin (60 + 18)°
    = (sin² 60° cos² 54° – cos² 60° sin² 54°)(sin² 60° cos² 18° – cos² 60° sin² 18°)
    = [(3/4)(1 – sin² 54°) – (1/4) sin² 54°][(3/4)(1 – sin² 18°) – (1/4) sin² 18°]
    = (3/4 – sin² 54°)(3/4 – sin² 18°)
    = (3/4 – cos² 36°)[3/4 – (1/2)(1 – cos 36°)]
    = (3/4 – cos² 36°)[1/4 + (1/2) cos 36°]
    = [3/4 – ((√5 + 1)/4)²][1/4 + (√5 + 1)/8]
    = [3/4 – (3 + √5)/8][1/4 + (√5 + 1)/8]
    = [(3 – √5)/8][(3 + √5)/8]
    = (9 – 5)/64
    = 4/64
    = 1/16
    QED

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    Respostas
    1. PC Filho31 de agosto de 2021 às 08:12

      Well done, Jake. :)

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    2. jrh1504821 de setembro de 2021 às 23:34

      Here’s a shorter proof:
      sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°
      = sin 6° sin 66° sin 42° sin 78°
      = (1/4)(cos 60° – cos 72°)(cos 36° – cos 120°)
      = (1/4)[1/2 – (√5 – 1)/4][(√5 + 1)/4 – (–1/2)]
      = (1/64)[2 – (√5 – 1)][(√5 + 1) + 2]
      = (1/64)(3 – √5)(3 + √5)
      = (1/64)(9 – 5)
      = (1/64)(4)
      = 1/16
      QED

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