Na figura acima, há três quadrados dentro de um círculo. Qual é a área do círculo?
(In the figure above, there are three squares inside a circle. What is the circle's area?)
PCFilho
(pescado no Twitter de Catriona Shearer)
sábado, 21 de março de 2020
2 comentários:
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Time to break out our old friend analytic geometry!
ResponderExcluirWe put the circle on a coordinate plane so that the midpoint of the top side of the largest square is at the origin. This means that the top vertices of the top square are (±3,18) and the bottom vertices of the bottom square are (±9,-18). From the symmetry of these four vertices we conclude that the x-coordinate of the center of the circle is 0. That means an equation of the circle is x^2 + (y-k)^2 = r^2, where k is the still-unknown y-coordinate of the center and r is the radius. We now solve for k and r by plugging in the coordinates of one top vertex and one bottom vertex into this equation:
3^2 + (18-k)^2 = r^2 -> (k-18)^2 = r^2 - 9 (Equation 1)
9^2 + (-18-k)^2 = r^2 -> (k+18)^2 = r^2 - 81 (Equation 2)
Subtracting equation 2 from equation 1, we get:
2k*-36 = 72
or
k = -1
Therefore the center of the circle is at (0,-1), or 1 unit below the midpoint of the top side of the largest square.
We now plug k = -1 back into either equation 1 or equation 2:
(-1+18)^2 = r^2 - 81
or
r^2 = 370
This gives us r^2. Since the area of a circle is π times r^2, that means the area of the circle is 370π square units.
Perfect, Jake. A beautiful analytic geometry class. :)
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