segunda-feira, 13 de abril de 2020

Geometria – Dois retângulos


Ambas as regiões coloridas têm área 10. Qual é a área total dos dois retângulos?

(Both coloured regions have area 10. What’s the total area of the two rectangles?)

PCFilho
(problema publicado por Catriona Shearer no Twitter)
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2 comentários:

  1. jrh15048214 de abril de 2020 às 21:59

    First, we do some point labeling:
    A, B, C, D = vertices of large rectangle, starting with the lower-left vertex and going clockwise
    D, E, F, G = vertices of small rectangle, starting with the lower-left vertex and going clockwise
    (DEFG is drawn so that G is on line AD and E is on segment CD.)
    H = vertex drawn on line AG so that B, E, and H are collinear and that C, F, and H are collinear
    I = point of intersection of segments BH and FG

    Next, some variable definitions:
    x = AD = BC
    y = AB = CD
    p = DG = EF
    q = DE = FG
    r = GH

    Since DEFG is a rectangle, segment ED ∥ segment FG and segment DG ∥ segment EF. Also, since C is on line DE and H is on line DG, segment CD ∥ segment FG and segment DH ∥ segment EF. This means that △CDH ~ △FGH ~ △CEF and:
    (y – q)/p = q/r → pq = r(y – q) (Equation 1)

    We also note that segment BH also creates some similar triangles. Segments AB and DE are parallel, so that means that △ABH ~ △DEH and:
    (p + r)/q = (p + r + x)/y → (p + r + x)q = (p + r)y → qx = (p + r)(y – q) (Equation 2)

    Subtracting Equation 1 from Equation 2, we get:
    (x – p)q = p(y – q) → qx – pq = py – pq → qx = py → x/p = y/q

    This proves that the rectangles are similar.

    We are also given that the areas of the colored triangles are both 10; that is, area of △BCE = area of △CEH = 10. In terms of the variables x, y, p, q, and r:
    x(y – q)/2 = 10 (Equation 3)
    and
    (p + r)(y – q)/2 = 10 (Equation 4)

    Since x(y – q)/2 = (p + r)(y – q)/2, this means that x = p + r. Substituting this equality into Equation 2, we get:
    qx = x(y – q) → y – q = q → y = 2q → q = y/2

    This means that y/q = 2. Since x/p = y/q, this implies that p = x/2. Substituting these equalities into Equation 3, we get:
    x(y/2)/2 = 10 → xy = 40

    And, since p = x/2 and q = y/2, pq = (x/2)(y/2) = xy/4 = 40/4 = 10. Since xy = 40 and pq = 10, that means that xy + pq (the sum of the rectangles’ areas) is 40 + 10 = 50.

    My answer: 50 square units

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