Em seu "Calcul des probabilités" (1889), o matemático francês Joseph Bertrand enunciou um problema que intrigaria matemáticos pelas décadas seguintes. Inscreva um triângulo equilátero em um círculo, e então escolha aleatoriamente uma corda (segmento que une dois pontos distintos do círculo). Qual é a probabilidade de que esta corda seja maior que um lado do triângulo? Aparentemente, há mais que uma solução válida.
O primeiro método proposto por Bertrand: escolha dois pontos aleatórios no círculo e desenhe a corda entre eles, então rotacione o triângulo até que um de seus vértices coincida com um dos pontos. A corda é maior que um lado do triângulo quando o outro ponto cai no arco entre os outros dois vértices do triângulo (casos desenhados em vermelho na figura). Este arco é um terço da circunferência total do círculo. Então, por este argumento, a probabilidade é 1/3.
O segundo método proposto por Bertrand se baseia na figura acima. Escolha um raio do círculo, escolha um ponto nesse raio, e desenhe a corda perpendicular ao raio, passando pelo ponto escolhido. Agora imagine rotacionar o triângulo até que um dos seus lados também intercepte o raio perpendicularmente. A corda será maior que o lado do triângulo se o ponto escolhido estiver mais próximo do centro do círculo que a interseção do raio com o lado (casos desenhados em vermelho na figura). Como o lado do triângulo divide o raio em dois segmentos iguais, por esse argumento a probabilidade é 1/2.
Bertrand propôs ainda uma terceira solução, com esta outra figura. Escolha um ponto qualquer dentro do círculo e desenhe a corda para a qual ele é o ponto médio. A corda será maior que um lado do triângulo se o ponto escolhido cair dentro do círculo concêntrico cujo raio é metade do raio do círculo maior (casos desenhados em vermelho na figura). Como esse círculo menor tem um quarto da área do círculo maior, por esse argumento a probabilidade é 1/4.
Há ainda outras possibilidades, propostas por diversos matemáticos ao longo das décadas, resultando em probabilidades diferentes. O paradoxo ainda gera discussões no século XXI.
Qual é a resposta certa? Após alguma reflexão, eu me lembrei de uma velha lição: probabilidades só podem ser calculadas quando estão claramente definidas. Na minha visão, este é o problema do elegante enunciado de Bertrand: o método que produz sua variável aleatória – a corda – não está claramente definido, e é exatamente desta ambiguidade que surge o paradoxo. Então, para mim, pode ser 1/2, pode ser 1/3 e pode ser 1/4 – depende do mecanismo escolhido para produzir as cordas aleatórias.
PCFilho
