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I'm going to start with some definitions:
ResponderExcluirO=lower left vertex of square
A=lower right vertex of square
B=upper right vertex of square
C=upper left vertex of square
M=midpoint of segment AB
N=point of intersection of segments OB and CM
Superimposing this square over a coordinate plane so that O is the origin, we therefore give the following coordinates for A, B, C, and M:
A=(1,0) (since we're dealing with a unit square)
B=(1,1)
C=(0,1)
M=(1,1/2)
Segment OB lies on the line y=x, and segment CM lies on the line y=-(1/2)x+1.
Therefore x=-(1/2)x+1. Solving this equation for x, we get x=1/(3/2)=2/3. Plugging this value back into either of the equations, we get y=2/3. Therefore:
N=(2/3,2/3)
To summarize:
A=(1,0)
B=(1,1)
C=(0,1)
M=(1,1/2)
N=(2/3,2/3)
Now, we need some vectors now:
Vector NM=[1/3,-1/6]
Vector NB=[1/3,1/3]
Vector NC=[-2/3,1/3]
Vector NO=[-2/3,-2/3]
So:
Area of a=((1/3)(1/3)-(1/3)(-1/6))/2=(1/9+1/18)/2=(3/18)/2=3/36=1/12
Area of b=((1/3)(1/3)-(1/3)(-2/3))/2=(1/9+2/9)/2=(3/9)/2=3/18=1/6
Area of c=((-2/3)(-2/3)-(1/3)(-2/3))/2=(4/9+2/9)/2=(6/9)/2=3/9=1/3
Area of d=1-1/12-1/6-1/3=(12-1-2-4)/12=5/12
Well done, Jake! Beautiful analytic solution!!
ResponderExcluir:-)