Se (a, b, c) é um trio pitagórico, então abc é divisível por 60.
(If (a, b, c) is a Pythagorean triple, then abc is divisible by 60.)
PCFilho
terça-feira, 9 de junho de 2020
2 comentários:
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This is a rather interesting fact. A rigorous proof is below.
ResponderExcluirGiven: {a,b,c} is a Pythagorean triple.
Prove: 60 | (abc) (The symbol | means "divides".)
Since a² + b² = c², there exists a set of integers {k,m,n} such that:
gcf(m,n) = 1
a = 2kmn
b = k(m² – n²)
c = k(m² + n²)
Therefore:
abc/2 = k³mn(m⁴ – n⁴)
= k³mn[(m⁴ – 1) – (n⁴ – 1)]
= k³n(m⁵ – m) – k³m(n⁵ – n)
We define two more variables x and y:
x = m⁵ – m
= m(m – 1)(m + 1)(m² + 1)
= m(m – 1)(m + 1)[(m – 2)(m + 2) + 5]
y = n⁵ – n
= n(n – 1)(n + 1)(n² + 1)
= n(n – 1)(n + 1)[(n – 2)(n + 2) + 5]
Therefore, abc/2 = k³(nx – my).
If m is even, then x is even. If m is odd, then m – 1 and m + 1 are even, so x is even. Therefore, x is even for all m.
If 3 | m, then 3 | x. Otherwise, either m – 1 or m + 1 is divisible by 3, so 3 | x. Therefore, 3 | x for all m.
If 5 | m, then 5 | x. Otherwise, one number in {m – 2, m – 1, m + 1, m + 2} is divisible by 5, so 5 | x. Therefore, 5 | x for all m.
Since x is divisible by 2, 3, and 5, and 2*3*5 = 30, that means that 30 | x for all m.
Using similar reasoning as above, 30 | y for all n.
Since 30 | (k³nx) and 30 | (k³my) for all m and n, that means that 30 | (abc/2); that is, 60 | (abc).
Well done, Jake!!
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