A expansão decimal de 1/7 é 0,142857142857…
Curiosamente, se você dividir o período da expansão (142857) em duas metades e adicionar os dois complementos, você obtém uma sequência de noves: 142 + 857 = 999.
O matemático francês Étienne Midy descobriu em 1836 que essa propriedade interessante vale para qualquer fração com um número primo no denominador e um período de tamanho par:
1/11 = 0,090909…
0 + 9 = 9
1/13 = 0,076923…
076 + 923 = 999
1/17 = 0,0588235294117647…
05882352 + 94117647 = 99999999
1/19 = 0,052631578947368421…
052631578 + 947368421 = 999999999
Os primeiros números primos cujos recíprocos têm um período de tamanho par são 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, 223, 229, 233, 241, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 313, 331, 337, 349, 353, 367, 373, 379, 383, 389, 401, 409, 419, 421 e 433 (ver sequência na OEIS). Todos eles seguem a propriedade descoberta por Midy.
PCFilho
1/23 = 0,0434782608695652173913
ResponderExcluir04347826086
95652173913
______________
99999999999