sexta-feira, 15 de maio de 2020

Geometria – Um retângulo no hexágono


Na figura acima, o hexágono é regular e os vértices do retângulo são os pontos médios de AC, CE, DF e FB. Qual fração da área do hexágono está pintada de rosa?)

(In the figure above, the hexagon is regular and the vertices of the rectangle are the midpoints of AC, CE, DF and FB. What fraction of the hexagon's area is painted pink?)

PCFilho
(mais um problema de geometria publicado por Ed Southall no Twitter)
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2 comentários:

  1. jrh15048216 de maio de 2020 às 08:10

    Labeling a few points:
    P, Q, R, S: vertices of the pink rectangle, starting with the upper left vertex and going clockwise.

    Given: The vertices of the pink rectangle are the midpoints of segments AC, CE, BF, and DF.
    Given: ABCDEF is a regular hexagon.
    Task: Find the fraction of the hexagon’s area represented by rectangle PQRS.

    Before we start, let’s set AB at 2. This makes the area of ABCDEF 6(√3/4)(2)² = 6√3 square units.

    First, we draw segments AC, CE, AE, BD, DF, and BF, creating the equilateral triangles △ACE and △BDF. Since each of these segments is equal to the height of the hexagon, their length is 2√3. Since the segment whose endpoints are the midpoints of two sides of a triangle is half the length of the third side, PS = QR = √3. To find PQ and RS, we draw segments AD and BE and label their intersection X, creating △ABX. Due to how the diagonals of a regular hexagon intersect and the fact that X, being the center of ABCDEF, is the midpoint of segments AD and BE, P is the midpoint of AX and Q of BX. This means that PQ = AB/2 = 2/2 = 1. Therefore, the area of PQRS is (√3)(1) = √3 square units. This means that the fraction of the hexagon’s area represented by PQRS is √3/(6√3) = 1/6.

    My answer: 1/6

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