James Tanton pergunta em seu Twitter: uma potência de dois pode ser a hipotenusa de um triângulo retângulo com lados inteiros?
(James Tanton asks on his Twitter: can a power of two be the hypotenuse of an integer right triangle?)
PCFilho
sexta-feira, 20 de novembro de 2020
5 comentários:
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We start with the Pythagorean Theorem:
ResponderExcluira² + b² = (2ⁿ)² = 2²ⁿ = (2²)ⁿ = 4ⁿ
Since the sum of a² and b² is even, that means that a and b are both odd or both even.
(Case #1: a and b are both odd)
If a and b are both odd, we have:
a = 2h + 1, where h is a positive integer
b = 2k + 1, where k is a positive integer
(2h + 1)² + (2k + 1)² = 4ⁿ
4(h² + h + k² + k) + 2 = 4ⁿ
Notice that the left side of this equation will never be divisible by 4 and the right side will always be divisible by 4. This contradicts the assertion that they’re equal, which means that this case is impossible.
(Case #2: a and b are both even)
If a and b are both even, then gcf(a,b) = 2ᵐ, where m is an integer that is less than half n, and:
a = 2ᵐx, where x is an odd integer
b = 2ᵐy, where y is an odd integer
(2ᵐx)² + (2ᵐy)² = 4ⁿ
x² + y² = 4ⁿ⁻²ᵐ
Here, we have two odd integers being the lengths of the legs of a right triangle whose hypotenuse is a power of 2. But, we’ve seen in Case #1 that this is impossible. Since the assumption in this case also leads to a contradiction, we must conclude that this case is also impossible.
Therefore, it is impossible for the length of a right triangle’s hypotenuse to be a power of 2.
Well done, Jake!! What a beautiful demonstration!
ExcluirExcept that the part that says 4^(n-2m) should say 4^(n-m).
ExcluirAlso, in Case #2, it is possible for one of x and y to be odd and the other even, which would contradict the assertion that the sum of their squares is even anyway.
ExcluirHere is a list of all possible hypotenuses up to 140: https://oeis.org/A009003
ResponderExcluirAs expected, none of them are powers of two.