(por Marcos Gomes)
Prezados leitores,
Trabalho com estatística no meu dia-a-dia, então tenho certa intimidade com cálculos probabilísticos. Tenho visto circulando na Internet alguns cálculos sobre a probabilidade da escalação casual de atletas suspensos por parte de Flamengo e Portuguesa na última rodada do Brasileirão. Achei uma abordagem interessante para o imbróglio, mas não concordei com os pressupostos adotados, então decidi estudar a questão por mim mesmo.
Refazendo os cálculos, cheguei a uma probabilidade de 1 em 5 milhões, que é realmente uma chance bastante baixa (menor do que a de ser atingido por um raio). Mas não vou afirmar que isso prova definitivamente que houve má fé no erro da Portuguesa. Até porque a Estatística nunca lhes dirá se uma afirmação é verdadeira, apenas indicará a probabilidade de sê-lo. A decisão de acreditar ou não é sua.
Antes de apresentar a memória de cálculo de como cheguei a esse número incrível, começarei por uma breve noção sobre conceitos de probabilidade, no item (1). Quem já os tiver, pode pular diretamente para o item (2).
(1) Conceitos Básicos
Começando pelo conceito de Probabilidade:
De forma simplificada, calcular a probabilidade de que um evento aconteça é comparar as chances de ele ocorrer (número de casos favoráveis) com o número total de casos possíveis. Usando dois exemplos do dia a dia, fica fácil de entender o conceito: o caso da moeda e o do dado.
Não é preciso saber nada sobre cálculo probabilístico para inferir que a chance de se obter cara quando se joga uma moeda é de 50%. Mas vamos calcular isso usando a definição que demos acima (ela será útil adiante em casos mais complexos):
Nº de casos favoráveis: 1 (cara).
Nº de casos possíveis: 2 (cara ou coroa).
Então: P (probabilidade) = 1/2 x 100% = 50%.
Vamos agora para um exemplo um pouquinho mais difícil: qual a probabilidade de se obter um número primo quando se joga um dado:
Nº de casos favoráveis: 3 (2, 3 ou 5).
Nº de casos possíveis: 6 (1, 2, 3, 4, 5 ou 6).
Então: P = 3/6 x 100% = 50%.
Agora um exemplo bem mais interessante: qual a chance de acertar na Mega-Sena com uma única aposta de seis números:
Nº de casos favoráveis: 1 (acertar os 6 números)
Nº de casos possíveis: 50.063.860 (são as combinações possíveis de se fazer escolhendo 6 números em 60 – se estiver interessado, clique aqui para ver o cálculo realizado)
Então P = 1 /50.063.860 x 100% = 0,000002% .
Mas o que fazer quando queremos saber a probabilidade de um fenômeno ocorrer quando não é possível calcular os casos possíveis, como nos exemplos anteriores? Como fazemos, por exemplo, para saber a probabilidade de morrer atingido por um raio?
Fazemos isso observando a frequência com que o fenômeno estudado ocorreu em determinado espaço de tempo. No exemplo citado, buscaríamos saber o número de mortes causadas por raios em 10 anos e compararíamos como o número total de óbitos no mesmo período. No Brasil, a estatística de fatalidades anuais ocasionadas por raios indica que, em média, a chance de morrer assim é de 0,00008% . Ou seja, infelizmente sua chance de ser fulminado pelos céus é 40 vezes maior que a de ganhar na Mega-Sena!
Só que, veja bem, quando se faz um cálculo probabilístico com base na frequência de um acontecimento dito casual, devem ser excluídos os casos não-aleatórios. Por exemplo, se eu estou calculando a probabilidade de meu carro acidentalmente cair de uma ponte, obviamente devo excluir os casos em que o motorista propositalmente se jogou de uma. Esse conceito será importante mais adiante.
Mas voltando aos cálculos probabilísticos, vamos avançar um pouco em direção a outro conceito que também vamos precisar: o de probabilidade de eventos combinados.
Suponha que agora você lance duas moedas ao mesmo tempo e queira saber a chance de obter duas caras. Como o número de casos possíveis é baixo, dá até para calcular do mesmo jeito que fizemos anteriormente:
Nº de casos favoráveis: 1 (cara-cara).
Nº de casos possíveis: 4 (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa).
Então: P = 1/4 x 100% = 25%.
Mas e se agora lançarmos dois dados ao mesmo tempo e quisermos saber a probabilidade de conseguir dois números primos? Fica mais complicado de fazer da forma anterior, pois a combinações possíveis nos dois dados são 36 (1-1, 1-2, 1-3...).
Só que para esse caso existe um teorema da Estatística que facilita nossa vida. Ele diz que a probabilidade de dois eventos independentes acontecerem ao mesmo tempo é o produto de suas probabilidades. Não entenderam? Então vamos aos exemplos anteriores:
No caso, a chance de obter uma cara na 1ª moeda é 1/2, assim como também é na 2ª moeda. Então a probabilidade de obter duas caras ao mesmo tempo é calculada como:
P = 1/2 x 1/2 x 100% = 25%, que é o mesmo resultado que obtivemos anteriormente.
Vamos agora ao caso dos dados. Vimos que a chance de obter um número primo em um dado é de 3/6 (ou 1/2). Então a chance de obter números primos nos dois dados simultaneamente é de:
P = 1/2 x 1/2 x 100% = 25%.
Agora que passamos por esses conceitos básicos sobre probabilidade, qualquer estudante do Ensino Médio é capaz de calcular a probabilidade de os erros cometidos por Flamengo e Portuguesa terem ocorrido casualmente. Vejamos a seguir...
(2) Memória de Cálculo
Considerando apenas os 11 anos da era dos pontos corridos (2003 a 2013), ocorreram 4.606 jogos na Série A. Como em princípio em cada jogo qualquer dos dois times pode se equivocar colocando atletas irregulares em campo, foram 9.212 chances de isso acontecer.
Há basicamente dois motivos pelos quais um jogador pode ser considerado irregular em campo: por motivos contratuais e por não ter cumprido uma suspensão. Em termos de frequência, a escalação de jogadores suspensos é bastante rara na Série A, visto que os motivos pelos quais um atleta fica nessa situação são bastante claros, além do que os clubes da divisão principal geralmente estão mais bem estruturados para se precaver desse equívoco.
De fato, nos últimos 11 anos de Brasileirão, em apenas 5 ocasiões clubes escalaram atletas suspensos. No entanto, para efeito do cálculo estatístico que faremos aqui, vamos excluir um desses casos, considerando então apenas 4 ocorrências em 9.211 chances. Os eventos ocorridos e o motivo da exclusão de um deles são os seguintes:
2003: a Ponte Preta errou duas vezes em sequência ao escalar o jogador Roberto de forma irregular nas partidas contra o Inter (1ª rodada) e Juventude (2ª rodada). O meia havia sido expulso na última partida do clube no Brasileirão do ano anterior, e assim deveria ter cumprido a suspensão automática na primeira rodada. Como não cumpriu na primeira, deveria ter cumprido na segunda. Vê-se claramente que nesse caso os eventos não foram independentes, pois o segundo erro não foi aleatório, mas ocorreu por causa do primeiro. Sendo assim, excluímos a segunda dessas partidas de nosso levantamento.
2010: o Grêmio Prudente foi punido pela escalação irregular do zagueiro Paulão, suspenso na partida contra o Flamengo na 3ª rodada.
2013: Flamengo escalou André Santos irregularmente na última rodada, assim como a Lusa o fez com Héverton.
Então, com base na frequência observada nos últimos 11 anos, podemos calcular a chance de que em uma partida um dos clubes escale um jogador suspenso como:
P = 4/9211 x 100% = 0,043%.
Só que estamos aqui diante de um caso único na história do Brasileirão, em que o Flamengo e Portuguesa erram juntos. É a mesma situação em que jogamos duas moedas ao mesmo tempo, esperando obter cara em ambas. Como vimos antes, a probabilidade de que os dois eventos tenham ocorrido por acaso é calculada como:
P = 4/9211 x 4/9211 x 100% = 0,00002%, ou se preferirem, aproximadamente uma chance em 5 milhões.
Então pergunto: você ainda continua acreditando que o erro da Portuguesa foi um mero capricho dos deuses do futebol para salvar o Flamengo?
(Marcos Gomes, tricolor, estatístico e leitor do Jornalheiros)
