Curiosidades sobre o número 2021

2021 é o produto de dois números primos consecutivos: 2021 = 43 × 47. É a primeira vez que isso acontece desde 1763 = 41 × 43, e não acontecerá de novo até 2491 = 47 × 53.

2021 também é a diferença de dois números quadrados: 2021 = 45² – 2².

2021 também é a concatenação de dois números inteiros consecutivos. É a primeira vez que isso acontece desde 1920, e a próxima só será em 2122.

2021 é um dos primeiros números que "desobedecem" a fórmula de Leonhard Euler para encontrar números primos a(n) = n² + n + 41, porque 2021 = 44² + 44 + 41, mas não é primo. Antes de 2021, somente 1681 e 1763 "desobedecem" a fórmula de Euler.

2021 não é um número primo, mas se você inserir um dígito 0 entre quaisquer dois dígitos, o resultado é um número primo: 20021 e 20201 são primos. A última vez que isso tinha acontecido foi em 1909, e a próxima será em 2047.

O número formado pela concatenação de 2021, 9 e 2021 é primo: 202192021 só é divisível por ele próprio e por 1. Ao mesmo tempo, o número formado pela concatenação de 9, 2021 e 9 também é primo: 920219 só é divisível por ele próprio e por 1. Isso ocorreu pela última vez em 1997 e só volta a ocorrer em 2053.

Se você multiplicar 2021 pelo seu reverso 1202, a resposta é um palíndromo: 2429242. A última vez que isso aconteceu foi em 2012, e a próxima será em 2101.

Se você somar 2021 com o 2021º número primo, a resposta é um número quadrado: 2021 + 17579 = 19600 = 140². Isso não acontecia desde 1334, e só voltará a acontecer em 2455.

2021 escrito por extenso em algumas línguas: dois mil e vinte e um (português), two thousand twenty-one (inglês americano), two thousand and twenty-one (inglês britânico), deux mille vingt et un (francês), dos mil veintiuno (espanhol), duemilaventuno (italiano), zweitausendeinundzwanzig (alemão).

PCFilho

(ver também Feliz Ano Novo Primo! e Curiosidades sobre o número 2019)

Xadrez - O quadrado mágico de Leonhard Euler

O quadrado mágico de ordem 8 de Leonhard Euler William Beverley.

Neste post escrevo sobre uma misteriosa e espetacular ligação entre o xadrez e a matemática, essas duas ciências que parecem artes. :)

Primeiro, a matemática. Um quadrado mágico de ordem n é um arranjo de n² números tal que a soma dos números em todas as linhas e colunas é uma constante (em algumas definições, as duas grandes diagonais também devem ter a mesma soma). A criação de quadrados mágicos é um desafio interessante - sugiro que o leitor tente desenhar um, de ordem 2, 3 ou 4. Para ordens maiores, o problema fica muito mais difícil, naturalmente.

Agora, o problema de xadrez. Um passeio do cavalo é uma sequência de movimentos de um cavalo em um tabuleiro de xadrez tal que o cavalo visite cada uma das 64 casas, somente uma vez cada. Não é uma tarefa fácil (se você quiser, pode tentar resolvê-lo online aqui).

Então, que tal resolver os dois problemas acima de uma vez só? Eis a extraordinária façanha conseguida pelo grande matemático e físico Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/09/1783) por William Beverley (1812-1889)*. A figura no começo do post resolve o passeio do cavalo, e ao mesmo tempo é um quadrado mágico de ordem 8 (!!!). As somas de cada linha e cada coluna dão precisamente 260.

Inacreditável, não?

* ver EDIÇÃO no fim do post.

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In this post I write about a mysterious and spectacular link between chess and mathematics, these two sciences which look like arts. :)

First, mathematics. A magic square of order n is an arrangement of n² numbers such that the sum of the numbers in all the rows and columns is constant (in some definitions, the sums in the 2 big diagonals must be the same too). The creation of magic squares is an interesting challenge - I suggest the reader try to draw one, of order 2, 3 or 4. For higher orders, the problem becomes much harder, naturally.

Now, the chess problem. A knight's tour is a sequence of moves of a knight on a chessboard such that the knight visits every one of the 64 squares, only once each. It's not an easy task (if you want, you can try to solve it online here).

So, what about solving the two problems above at once? Here's the extraordinary feat accomplished by the great mathematician and physicist Leonhard Euler (15 April 1707 – 18 September 1783) William Beverley (1812-1889)*. The figure in the beginning of the post solves the knight's tour, and at the same time is a magic square of order 8 (!!!). The sums of each row and each column result precisely 260.

Unbelievable, isn't it?

* see EDIT in the end of the post.

Leonhard Euler foi um dos maiores gênios da história humana, com
muitas contribuições relevantes em Matemática, Física e Astronomia.
Entretanto, ele não é o inventor do quadrado mágico deste post.

PCFilho

* EDIÇÃO: parece que a atribuição da solução brilhante a Leonhard Euler é um erro persistente na literatura matemática. Euler de fato publicou o primeiro artigo sobre os passeios do cavalo, mas o quadrado mágico acima foi na verdade inventado por William Beverley (1812-1889), em 1848. Agradecimentos a HB de Mello pela correção.

* EDIT: it seems that the attribution to Leonhard Euler is a persistent error in the mathematics literature. Euler did publish the first paper on knight tours, but the knight tour magic square above was in truth invented by William Beverley (1812-1889), in 1848. Thanks to HB de Mello for the correction.