Um Sudoku com somente 4 dígitos iniciais

Aad van de Wetering.

Este é um desafio Sudoku especial, composto por Aad van de Wetering. As regras do Sudoku normal se aplicam (cada linha, cada coluna e cada uma das nove caixas 3x3 devem conter os dígitos 1 a 9). Além disso, ambas as diagonais marcadas também devem conter os dígitos 1 a 9. Células que estão separadas por um movimento de cavalo do xadrez não podem conter o mesmo dígito. Finalmente, a caixa 3x3 central tem que formar um quadrado mágico (cada linha, cada coluna e ambas as diagonais devem somar o mesmo número). A solução é única.

(This is a special Sudoku puzzle, composed by Aad van de Wetering. The normal Sudoku rules apply (each row, each column and each one of the nine 3x3 boxes must contain the digits 1 to 9). In addition, both marked diagonals must also contain the digits 1 to 9. Cells that are a chess knight's move apart cannot contain the same digit. Finally, the central 3x3 box must form a magic square (each row, each column and both diagonals must add up to the same number). The solution is unique.)

PCFilho

Matemática e Xadrez - O quadrado bimágico da Dama

Um passeio da Dama é a jornada de uma Dama por um tabuleiro vazio de xadrez, em que ela visita cada uma das 64 casas uma única vez, movendo-se de acordo com as regras do xadrez.

Numerando as casas do tabuleiro pela ordem das visitas da Dama, o quadrado resultante será chamado de "mágico" se os números em cada linha e em cada coluna somarem um mesmo total. O quadrado será chamado de "bimágico" se os quadrados dos números em cada linha e em cada coluna também somarem um mesmo total.

Recentemente, William Walkington encontrou o primeiro passeio bimágico da Dama - está na imagem que ilustra esta postagem. Os números em cada linha e cada coluna sempre somam precisamente 260. Os quadrados dos números em cada linha e cada coluna sempre somam 11.180.

(William Beverley publicou o primeiro passeio mágico do Cavalo em 1848, uma solução que é muitas vezes atribuída erroneamente a Leonhard Euler, conforme já contei aqui. Já está demonstrado que não existem passeios bimágicos do Cavalo.)

Notem que, nesses quadrados dos passeios das peças de xadrez, as diagonais longas do tabuleiro NÃO produzem a soma mágica, como acontece nos quadrados mágicos tradicionais. Essa restrição inviabilizaria qualquer solução.

Os detalhes técnicos da fascinante busca computacional pelo quadrado bimágico da Dama podem ser lidos, em inglês, no blog de Walkington.

PCFilho

Quadrados mágicos de números primos

Pesquei essa no Futility Closet: em 1913, J. N. Muncey, de Jessup, Iowa, mostrou que os primeiros 144 números primos ímpares (contando 1 como primo) podem ser arranjados no quadrado mágico 12 ⨯ 12 (acima). Cada linha, coluna e diagonal longa soma 4514.

Pesquisando sobre o assunto, encontrei outro impressionante quadrado mágico de primos, criado por J. S. Madachy, em 1979. São 169 números primos arrumados em um quadrado mágico 13 ⨯ 13, mas não só isso: os subquadrados obtidos com as sucessivas remoções das bordas (de tamanhos 11 ⨯ 11, 9 ⨯ 9, 7 ⨯ 7, 5 ⨯ 5 e 3 ⨯ 3) também são todos quadrados mágicos de primos.

Uau.

PCFilho

Xadrez - O quadrado mágico de Leonhard Euler

O quadrado mágico de ordem 8 de Leonhard Euler William Beverley.

Neste post escrevo sobre uma misteriosa e espetacular ligação entre o xadrez e a matemática, essas duas ciências que parecem artes. :)

Primeiro, a matemática. Um quadrado mágico de ordem n é um arranjo de n² números tal que a soma dos números em todas as linhas e colunas é uma constante (em algumas definições, as duas grandes diagonais também devem ter a mesma soma). A criação de quadrados mágicos é um desafio interessante - sugiro que o leitor tente desenhar um, de ordem 2, 3 ou 4. Para ordens maiores, o problema fica muito mais difícil, naturalmente.

Agora, o problema de xadrez. Um passeio do cavalo é uma sequência de movimentos de um cavalo em um tabuleiro de xadrez tal que o cavalo visite cada uma das 64 casas, somente uma vez cada. Não é uma tarefa fácil (se você quiser, pode tentar resolvê-lo online aqui).

Então, que tal resolver os dois problemas acima de uma vez só? Eis a extraordinária façanha conseguida pelo grande matemático e físico Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/09/1783) por William Beverley (1812-1889)*. A figura no começo do post resolve o passeio do cavalo, e ao mesmo tempo é um quadrado mágico de ordem 8 (!!!). As somas de cada linha e cada coluna dão precisamente 260.

Inacreditável, não?

* ver EDIÇÃO no fim do post.

*****

In this post I write about a mysterious and spectacular link between chess and mathematics, these two sciences which look like arts. :)

First, mathematics. A magic square of order n is an arrangement of n² numbers such that the sum of the numbers in all the rows and columns is constant (in some definitions, the sums in the 2 big diagonals must be the same too). The creation of magic squares is an interesting challenge - I suggest the reader try to draw one, of order 2, 3 or 4. For higher orders, the problem becomes much harder, naturally.

Now, the chess problem. A knight's tour is a sequence of moves of a knight on a chessboard such that the knight visits every one of the 64 squares, only once each. It's not an easy task (if you want, you can try to solve it online here).

So, what about solving the two problems above at once? Here's the extraordinary feat accomplished by the great mathematician and physicist Leonhard Euler (15 April 1707 – 18 September 1783) William Beverley (1812-1889)*. The figure in the beginning of the post solves the knight's tour, and at the same time is a magic square of order 8 (!!!). The sums of each row and each column result precisely 260.

Unbelievable, isn't it?

* see EDIT in the end of the post.

Leonhard Euler foi um dos maiores gênios da história humana, com
muitas contribuições relevantes em Matemática, Física e Astronomia.
Entretanto, ele não é o inventor do quadrado mágico deste post.

PCFilho

* EDIÇÃO: parece que a atribuição da solução brilhante a Leonhard Euler é um erro persistente na literatura matemática. Euler de fato publicou o primeiro artigo sobre os passeios do cavalo, mas o quadrado mágico acima foi na verdade inventado por William Beverley (1812-1889), em 1848. Agradecimentos a HB de Mello pela correção.

* EDIT: it seems that the attribution to Leonhard Euler is a persistent error in the mathematics literature. Euler did publish the first paper on knight tours, but the knight tour magic square above was in truth invented by William Beverley (1812-1889), in 1848. Thanks to HB de Mello for the correction.