Matemática - 7 é o único

7 é o único número primo seguido por um cubo.

(7 is the only prime number followed by a cube.)

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Matemática - 999 como soma de dois primos

Quantos pares de números primos existem cuja soma é 999?

(How many pairs of prime numbers are there whose sum is 999?)

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Curiosidades sobre o número 2021

2021 é o produto de dois números primos consecutivos: 2021 = 43 × 47. É a primeira vez que isso acontece desde 1763 = 41 × 43, e não acontecerá de novo até 2491 = 47 × 53.

2021 também é a diferença de dois números quadrados: 2021 = 45² – 2².

2021 também é a concatenação de dois números inteiros consecutivos. É a primeira vez que isso acontece desde 1920, e a próxima só será em 2122.

2021 é um dos primeiros números que "desobedecem" a fórmula de Leonhard Euler para encontrar números primos a(n) = n² + n + 41, porque 2021 = 44² + 44 + 41, mas não é primo. Antes de 2021, somente 1681 e 1763 "desobedecem" a fórmula de Euler.

2021 não é um número primo, mas se você inserir um dígito 0 entre quaisquer dois dígitos, o resultado é um número primo: 20021 e 20201 são primos. A última vez que isso tinha acontecido foi em 1909, e a próxima será em 2047.

O número formado pela concatenação de 2021, 9 e 2021 é primo: 202192021 só é divisível por ele próprio e por 1. Ao mesmo tempo, o número formado pela concatenação de 9, 2021 e 9 também é primo: 920219 só é divisível por ele próprio e por 1. Isso ocorreu pela última vez em 1997 e só volta a ocorrer em 2053.

Se você multiplicar 2021 pelo seu reverso 1202, a resposta é um palíndromo: 2429242. A última vez que isso aconteceu foi em 2012, e a próxima será em 2101.

Se você somar 2021 com o 2021º número primo, a resposta é um número quadrado: 2021 + 17579 = 19600 = 140². Isso não acontecia desde 1334, e só voltará a acontecer em 2455.

2021 escrito por extenso em algumas línguas: dois mil e vinte e um (português), two thousand twenty-one (inglês americano), two thousand and twenty-one (inglês britânico), deux mille vingt et un (francês), dos mil veintiuno (espanhol), duemilaventuno (italiano), zweitausendeinundzwanzig (alemão).

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(ver também Feliz Ano Novo Primo! e Curiosidades sobre o número 2019)

Matemática - Uma fórmula para gerar números primos

Em 1976, uma equipe de matemáticos no Canadá e no Japão descobriu este impressionante polinômio — faça suas 26 variáveis a, b, c, …, z percorrerem os inteiros não-negativos e a fórmula gerará todos os números primos:

O problema é que às vezes o polinômio produz números negativos, que devem ser ignorados. Mas todo resultado positivo será um número primo, e todo número primo pode ser gerado por algum conjunto de 26 inteiros não-negativos. Uau.

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(pescado no Futility Closet, citando: James P. Jones et al., "Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers", American Mathematical Monthly 83:6 [1976], 449-464.)

Matemática – Uma relação entre números primos e quadrados

Todo número primo da forma 4n + 1 é a soma de dois números quadrados, de exatamente uma maneira. Os números primos da forma 4n + 1 são chamados de primos pitagóricos.

(Every prime number of the form 4n + 1 is the sum of two square numbers, in exactly one way. The prime numbers of the form 4n + 1 are called Pythagorean primes.)

5 = 1 + 4

13 = 4 + 9

17 = 1 + 16

29 = 4 + 25

37 = 1 + 36

41 = 16 + 25

53 = 4 + 49

61 = 25 + 36

73 = 9 + 64

89 = 25 + 64

97 = 16 + 81

101 = 1 + 100

109 = 9 + 100

113 = 49 + 64

137 = 16 + 121

...

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Curiosidades sobre o número 2019

Ao contrário de 2017, que é um número primo, 2019 não é, porque tem outros dois divisores além de 1 e 2019: 3 e 673.

2019 é o produto de dois números primos (3 e 673) cuja soma é um quadrado perfeito (676).

Em binário, 2019 se escreve assim: 11111100011. É a  soma das seguintes potências de dois: 1 + 2 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024.

O quadrado de 2019 é 4076361.

2019 pode ser escrito na forma n² - 6 (com n = 45). E também na forma 4n² + 12n + 3 (com n = 21).

2019 não é um número de Fibonacci (o anterior é 1597 e o próximo é 2584).

2019 é a soma das primeiras 22 potências perfeitas (1 + 4 + 8 + 9 + 16 + 25 + 27 + 32 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 125 + 128 + 144 + 169 + 196 + 216 + 225 + 243).

2019 é um número que, junto com seu dobro (4038) e seu triplo (6057), contém todos os dígitos de 0 a 9. Os números anteriores com essa propriedade são 1692, 1809, 1902, 1908 e 1920 (o próximo é 2079).

2019 é o primeiro número de 4 dígitos a aparecer 6 vezes na expansão decimal de pi.

Por fim, uma curiosidade astronômica sobre o ano de 2019: no dia 11 de novembro, haverá o chamado "trânsito de Mercúrio", isto é, Mercúrio estará interposto entre a Terra e o Sol, podendo ser visto como um pequeno ponto lentamente atravessando o disco solar (lembrando sempre que só se deve olhar para o Sol com a devida proteção). O último trânsito de Mercúrio ocorreu em 2016 e o próximo ocorrerá em 2032.

PCFilho

Quadrados mágicos de números primos

Pesquei essa no Futility Closet: em 1913, J. N. Muncey, de Jessup, Iowa, mostrou que os primeiros 144 números primos ímpares (contando 1 como primo) podem ser arranjados no quadrado mágico 12 ⨯ 12 (acima). Cada linha, coluna e diagonal longa soma 4514.

Pesquisando sobre o assunto, encontrei outro impressionante quadrado mágico de primos, criado por J. S. Madachy, em 1979. São 169 números primos arrumados em um quadrado mágico 13 ⨯ 13, mas não só isso: os subquadrados obtidos com as sucessivas remoções das bordas (de tamanhos 11 ⨯ 11, 9 ⨯ 9, 7 ⨯ 7, 5 ⨯ 5 e 3 ⨯ 3) também são todos quadrados mágicos de primos.

Uau.

PCFilho

Feliz Ano Novo Primo!

Vou escrever sobre matemática, faz tempo que não faço isso por aqui. O tema são os fascinantes números primos (um número primo é aquele que possui somente dois divisores: 1 e o próprio).

O ano que acaba de começar, 2011, é um número primo. Desde 2003, não vivíamos um ano "primo". O próximo será 2017.

Mas há mais coincidências que relacionam 2011 aos números primos. A melhor de todas é: 2011 pode ser escrito como a soma de 11 números primos consecutivos:

2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211.

Números primos que podem ser escritos como uma soma de números primos consecutivos são raros. Depois de 2011, o próximo é 2027:

2027 = 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139.

Mas reparem que 2011 é a soma de 11 números primos consecutivos, isto é: é a soma de um número primo de números primos consecutivos. Este é um fato ainda mais raro (2027 não se enquadra).

O próximo ano primo que é a soma de um número primo de números primos consecutivos é 2081:

2081 = 401 + 409 + 419 + 421 + 431.

Voltando ao nosso atual 2011, reparem que ele também pode ser escrito como uma soma de três números primos consecutivos:

2011 = 661 + 673 + 677.

Isto pode nos levar a outros problemas: por exemplo, de quantas formas um certo número primo pode ser escrito como uma soma de um número primo de números primos consecutivos?

Se alguém quiser tentar responder...

PC

Links úteis para quem quiser continuar a brincadeira:

- Os 10000 primeiros números primos.

- Código utilizado para fazer as contas (por Patrick de Geest).