quarta-feira, 4 de fevereiro de 2015

Matemática - O Teorema de Pitot


Se um quadrilátero circunscreve um círculo, então as somas de seus lados opostos são iguais entre si.

Na figura acima:
a + c = b + d

PCFilho
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3 comentários:

  1. jrh1504825 de fevereiro de 2015 às 05:04

    Here's the proof of this theorem:

    First, locate the center of the circle and label that point O. Next, label the points where the circle touches the sides A, B, C, and D. To make this as simple as possible, we choose A to be on the side whose length is a, B for the side whose length is b, and so on. Observe that segments OA, OB, OC, and OD are perpendicular to the sides they intersect. Now we label the vertices of the quadrilateral P, Q, R, and S so that A is on segment PQ, B is on segment QR, C is on segment RS, and D is on segment PS. Therefore, the following statements about the lengths of the segments are true:

    PQ = a
    QR = b
    RS = c
    PS = d

    The line segments just added create four pairs of right triangles, each pair sharing either OP, OQ, OR, or OS. By the Hypotenuse-Leg Congruence Theorem, the triangles in each pair are congruent. Therefore:

    PA = PD = x
    QA = QB = y
    RB = RC = z
    SC = SA = w

    So now we have the following four equations in four unknowns:

    x + y = a
    y + z = b
    z + w = c
    x + w = d

    We now subtract the second equation from the first and the third equation from the fourth to get these two equations:

    x - z = a - b
    x - z = d - c

    Observe that the left sides of the equations are identical. So, we can set the right sides equal to each other:

    a - b = d - c

    Adding (b + c) to both sides, we get:

    a + c = b + d

    Which proves the theorem.

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