Qual fração do quarto de círculo está pintada de verde?
(What fraction of the quarter circle is painted green?)
PCFilho
(pescado no Twitter de Diego Rattaggi)
sábado, 29 de maio de 2021
2 comentários:
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To make the explanation a bit easier, I’m going to label the points as follows:
ResponderExcluirO = left-hand vertex of the quarter-circle
A = right-hand vertex of the quarter-circle
B = top vertex of the quarter-circle
C = point where the green “Pac-Man” meets segment OA
D = point where the green “Pac-Man” meets segment OB
E = top vertex of the green “Pac-Man”
F = right-hand vertex of the green “Pac-Man”
P = center of the green “Pac-Man”
Given: Segment EP ∥ segment OB
Given: Segment FP ∥ segment OA
Given: The green “Pac-Man” is tangent to OA at C and to OB at D.
Question: What fraction of the quarter-circle is represented by the area of the green “Pac-Man”?
We start by extending EP to C and drawing segment OE. This creates the right triangle △OCE. Segment OC is equal in length to the radius of the Pac-Man (let’s call this length r). Segment CE is the diameter of the Pac-Man, so its length must be 2r. Segment OE is the hypotenuse of △OCE and its length is equal to the radius of the quarter-circle. Thus, by the Pythagorean Theorem:
Radius of quarter-circle = OE = √[(OC)² + (CE)²] = √[r² + (2r)²] = √(5r²) = (√5)r
Thus the area of the quarter-circle is (π/4)[(√5)r]² = 5πr²/4.
The Pac-Man’s area is three-quarters of the area of the circle with radius r, or (3π/4)r² = 3πr²/4.
Therefore, the fraction of the quarter-circle’s area represented by the Pac-Man is (3πr²/4) / (5πr²/4) = 3/5.
My answer: 3/5
Well done, mr. Hoover. Elegant solution.
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