quinta-feira, 6 de maio de 2021

Geometria - Quartos de círculo


As áreas dos quartos de círculo são 4 e 2. Qual é a área do semicírculo?

(The areas of the quarter circles are 4 and 2. What is the area of the semicircle?)

PCFilho
(pescado no sempre ótimo Twitter da professora Catriona Agg)
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2 comentários:

  1. jrh1504827 de maio de 2021 às 08:57

    Let’s call the radius of the smaller quarter-circle x. Since the larger quarter-circle has twice the area of the smaller one, this means that its radius is √2 times the area of the smaller one; that is, its radius is (√2)x. Now we draw a line segments from the point of intersection of the semi-circle and the larger quarter-circle to the left and right endpoints of the base of the semi-circle. Since the base of the semi-circle is also its diameter, the triangle we have just constructed is a right triangle. Now we draw the altitude of this triangle that intersects the base of the semi-circle, whose length is x (since its length is the same as the radius of the smaller quarter-circle). Since the base of the semi-circle is the hypotenuse of this right triangle, the altitude we have just drawn divides it into two smaller right triangles that are similar to it and to each other. We now find the length of the line segment between the foot of the altitude and the right endpoint of the base of the semi-circle. This length is x + (√2)x, or (√2 + 1)x. So, the ratio between the length of this line segment and the altitude is (√2 + 1). This means that the length of the line segment between the foot of the altitude and the left endpoint of the base of the semi-circle is x/(√2 + 1), or (√2 – 1)x. Therefore, the length of the base of the semi-circle is (√2 + 1 + √2 – 1)x, or (2√2)x. This means that the semi-circle has the same radius as the larger quarter-circle and therefore its area is exactly twice this quarter-circle’s area. Since the area of the larger quarter-circle is 4, this means that the area of the semi-circle is 8.

    My answer: 8 square units

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