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Discussão no facebook.
ResponderExcluirPrezado PC,
ResponderExcluirCreio que a solução esteja no seguinte:
- A formiga anda um cm/minuto e assim que completa o percurso a corda aumenta e carrega a formiga;
- A formiga no primeiro minuto anda 1cm numa corda de um metro que vira 2m e seu percurso 2cm, ou seja anda, 1%;
- No segundo minuto anda 1cm em 2m e que vira 1,5 cm em 3m, ou seja 0,5% e assim por diante, um somatório de 1/t(integral) ou ln(t);
- Deve ser algo como ln(t)=100 ou t=~2,69x10^43.
É por aí?
Prezado Jaime,
ResponderExcluirSim, é por aí. Sua solução para o tempo transcorrido só não se encaixa perfeitamente no problema proposto porque você usou a integral contínua, ao invés do somatório discreto. (que, a rigor, deveria ser utilizado, já que o problema é discreto)
Segue a minha resposta para o problema:
ResponderExcluirPor mais incrível e contra-intuitivo que pareça, sim, a formiga chegará um dia à outra ponta da corda. Há diversas maneiras matemáticas de demonstrar isso, embora a prova rigorosa não seja muito simples. A maneira que eu prefiro usar para explicar é a seguinte: o objetivo da formiga é percorrer 100% da corda. A cada minuto que passa, por mais que a corda estique, e por mais devagar que a formiga esteja, ela está se aproximando desse objetivo, pois ela nunca anda para trás. (lembrando sempre que o espaço já percorrido também estica) Logo, mesmo devagarinho, a formiga um dia chegará aos 100% da corda.
Agora, vai demorar, e vai demorar muito. Pelas minhas contas (feitas com ajuda do computador), a formiga alcançará o final da corda após 1,509269 × 10^43 minutos. Isto é o equivalente a mais ou menos 286.961.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 de séculos. rsrsrs. Para efeito de comparação, calcula-se que a idade do universo (do Big Bang até hoje) não chegou ainda aos 14 bilhões de anos. :)
Para quem já estudou "um pouco mais" de matemática: ao final do primeiro minuto, a formiga andou 1/100 do caminho. Ao final do segundo minuto, ela andou 1/100 + 1/200 do caminho. Então, ela atingirá o final em t minutos, quando 1/100 (1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/t) igualar ou exceder 1. A expressão entre parênteses é a série harmônica, que pode ser tão grande quanto desejado. Logo, um dia a formiga chegará lá. :)
Mais algumas curiosidades:
ResponderExcluir- quando a formiga atingir o final da corda, ela terá esticado tanto que terá dado 3,76611104 × 10^35 voltas ao redor da Terra. Isso, claro, se a corda estiver na linha do equador. :)
- mesmo que a formiga seja (muito) mais lenta, e mesmo que a corda estique (muito) mais violentamente, um dia a formiga completará sua jornada. :)
Alguns links (em inglês) para quem quiser estudar os assuntos citados:
ResponderExcluir- Wikipedia sobre algumas variações do problema da formiga.
- Wolfram MathWorld sobre a série harmônica.
- Conversão de minutos para séculos.
Prezado PC,
ResponderExcluirMuito bom!
Depois de vencer a contra-intuição fica mais fácil.
A diferença realmente é significativa (~80%).
A conclusão, então, é que não é possível, pois a formiga não vive esse tempo todo, certo?
Jaime,
ResponderExcluirHá diversos "obstáculos" para transformar o problema em realidade. Cito pelo menos três:
- a formiga não chega nem perto de tamanha longevidade;
- nem mesmo a Terra e o Sistema Solar chegarão perto de tamanha longevidade;
- a linha do equador da Terra não chega perto de ter espaço suficiente para guardar a corda esticada;
- não existe material elástico o suficiente para esticar tanto.
Eu deveria ter enunciado o problema avisando que a formiga é imortal, que o planeta em que estamos é gigantesco, que o sistema solar dele será eternamente estável, e que a corda é feita de um material infinitamente elástico. HAHAHAHA!
PC, o enunciado está perfeito. O fato da corda esticar 100 vezes nais que o deslocamento da formiga por minuto leva a números extraordinários. Números que chamam a atenção e destacam a questão de algum dia se chega ao outro lado, mesmo que falemos de 10^43 minutos.
ResponderExcluirReduzindo significativamente o esticamento para 2cm e o deslocamento mantido em 1cm, ambos por minuto, teríamos algo da ordem de 5h17min de tempo travessia e 7,34m de corda. Números menos impressionantes para destacar o conceito.
Excelente observação, prezado Jaime. De fato, o conceito fica mais claro se reduzirmos o esticamento.
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