quarta-feira, 24 de fevereiro de 2016

A hora da simetria


A que horas exatamente entre 8:15 e 8:20 o ponteiro dos minutos e o ponteiro das horas de um relógio analógico ideal fazem o mesmo ângulo com a vertical?

(At what exact time between 8:15 and 8:20 do the minute hand and the hour hand of an ideal analog clock make the same angle with the vertical?)

PCFilho
(problema proposto por Holger Dambeck, no Spiegel Online)

6 comentários:

  1. Hour hand moves 360° in 24 h=1440 min=86400 s
    Rate of hour hand=360°/(86400 s)=(1/240)(°/s)

    Minute hand moves 360° in 1 h=3600 s
    Rate of minute hand=360°/(3600 s)=(1/10)(°/s)

    t=0 s corresponds to 8:15, t=300 s corresponds to 8:20
    The 6 mark is 0°
    At 8:00 hour hand is at 60° and minute hand is at -180°
    At 8:15 (900 s after 8:00) hour hand is at (60+(900/240))°=(255/4)°
    At 8:15 minute hand is at -90°

    θh(t)=position in degrees of hour hand at time t
    θm(t)=position in degrees of minute hand at time t
    θh(t)=255/4+t/240
    θm(t)=-90+t/10

    We find the value of t for which θh=-θm:
    255/4+t/240=90 – t/10
    t/240+t/10=90-255/4
    25t/240=105/4
    t=(105/4)(240/25)=(25200/100)=252 s

    The time is 252 seconds after 8:15, or 8:19 and 12 seconds.

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    1. Jake, the hour hand moves 360 degrees not in 24 hours, but in 12 hours.

      That was probably your only mistake.

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    2. And it's a major one, because correcting it changes the answer.

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  2. Correcting my mistake:

    Hour hand moves 360° in 12 h=720 min=43200 s
    Rate of hour hand=360°/(43200 s)=(1/120)(°/s)

    Minute hand moves 360° in 1 h=3600 s
    Rate of minute hand=360°/(3600 s)=(1/10)(°/s)

    t=0 s corresponds to 8:15, t=300 s corresponds to 8:20
    The 6 mark is 0°
    At 8:00 hour hand is at 60° and minute hand is at -180°
    At 8:15 (900 s after 8:00) hour hand is at (60+(900/120))°=(135/2)°
    At 8:15 minute hand is at -90°

    θh(t)=position in degrees of hour hand at time t
    θm(t)=position in degrees of minute hand at time t
    θh(t)=135/2+t/120
    θm(t)=-90+t/10

    We find the value of t for which θh=-θm:
    135/2+t/120=90–t/10
    t/120+t/10=90-135/2
    13t/120=45/2
    t=(45/2)(120/13)=2700/13=(207+9/13) s

    The time is 207 and 9/13 seconds after 8:15, or 8:18 and 27 and 9/13 seconds.

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  3. Solução em português:

    O ponteiro da hora anda 1/12 da volta completa a cada hora, ou 1/43200 da volta completa a cada segundo.

    O ponteiro do minuto anda 1 volta completa a cada hora, ou 1/3600 da volta completa a cada segundo.

    (Uma hora tem 60*60 = 3600 segundos.)

    Os ponteiros farão o mesmo ângulo com a vertical quando a distância para o ponteiro da hora chegar até as 12:00 for igual à distância que o ponteiro dos minutos percorreu desde as 20:00.

    Sejam x o número de segundos transcorridos entre 20:15 e a hora da simetria, m a distância que o ponteiro dos minutos percorreu desde as 20:00, e h a distância que falta para o ponteiro das horas chegar até as 12:00.

    m = (15*60 + x) segundos * 1/3600 voltas por segundo
    m = 15/60 + x/3600 voltas

    h = ((180+45)*60 - x) segundos * 1/12 voltas por hora * 1/3600 horas por segundo
    h = 225/720 - x/43200 voltas

    Fazendo m = h:
    15/60 + x/3600 = 225/720 - x/43200
    15 + x/60 = 225/12 - x/720
    12*15 + x/5 = 225 - x/60
    x/5 + x/60 = 225 - 180
    13x = 45*60
    x = 45*60/13 = 207,6923 segundos

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